第八讲 实体几何造型

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1、第八讲实体几何造型《计算机图形学》一.概述客观世界中的物体都是三维的，真实地描述和显示客观世界中的三维物体是计算机图形学研究的重要内容。一个物体的计算机描述叫做模型，它能被计算机读懂，并在一定的条件下（变换和投影）被转换成相应的图形在屏幕显示或在绘图机上输出；图形是模型的一个具体可见像几何造型就是用计算机系统来表示、控制、分析和输出三维形体。表示形体的两种模型:数据模型：规则形体的建模方法；用欧式几何描述。过程模型：不规则形体的建模方法；用分形几何描述。1.数据模型完全以数据描述。通常是欧式几何所能描述的规则物体

2、。按发展时间：线框模型、表面模型、实体模型；以数据文件的形式存在。(静态)2.过程模型以一个过程和相应的控制参数描述。通常描述不规则的自然景物。(基于分形几何）以一个数据文件和一段代码的形式存在；（动态）包括：随机插值模型、迭代函数系统、L系统、粒子系统、动力系统等。二.形体的定义与运算形体一般定义为六层拓扑结构，首先介绍在三维空间中基本术语的定义。形体（object）由封闭表面围成的有效空间称为体；一个体Q是R3空间中非空、有界的封闭子集。其边界（记为∂Q）是有限个面的并集，而外壳是形体的最大边界。例如：一个单

3、位立方体可定义{(x,y,z)∈R3

4、0≤x≤1,0≤y≤1,0≤z≤1}其中一个表面可表示为：{(1,y,z)∈R3

5、0≤y≤1,0≤z≤1}xzy面R3中非空、连续、共面且封闭的子集称为面F，其边界(记为∂F)是有限条线段的并集，Pt表示含有F的唯一平面。面是形体表面的一部分，且具有方向性.FPt环由有序、有向边组成的面的封闭边界称为环。环中任意边都不能自交；相邻两条边共享一个端点；环又分为内环和外环。内环边按顺时针方向。外环是确定面的最大外边界，其边按逆时针方向，按这种方式定义，在面上沿着边的方向前进，面

6、的内部始终在走向的左侧。边形体内两个相邻面的交界称为边。一条边有且仅有两个相邻面。两个端点确定一条边，这两个端点分别称为该边的起点和终点。面1面2v1v2ef1f2顶点边的端点称为顶点，顶点不能出现在边的内部，也不能孤立地位于物体内、物体外或面内。上述定义中我们知道几何元素中有两种重要信息几何信息，用以表示几何元素性质和度量关系，如位置、大小、方向等；拓扑信息，用以表示几何元素之间的连接关系。形体—顶点、棱边、表面之间的拓扑关系fffffvvvvfeeeeffffvvvvveeevffevveeeeee形体的性质

7、：具有一定的形状，不变形（刚性）实体的各个部分均是三维的（维数的一致性）占据空间有限（有限性）经过几何变换和集合变换之后，仍然是有效地实体（封闭性）实体的边界可以区分出实体的内部和外部。（边界的确定性）。满足以上性质的物体称为有效物体或正则形体带有悬面的形体带有悬边的形体一条边有两个以上的邻面非有效的物体！！非正则物体！！欧拉公式检验实体有效性的必要条件V-E+F=2（V为顶点数，E为棱线数，F为面数）V=4,E=6,F=4v2v1v3v4v4v1v5v8v6v3v2v7V=8,E=12,F=6V=10,E=15

8、,F=7欧拉运算时，必须要保证欧拉公式和下述条件成立，才能够保证形体的拓扑有效性。面单连通，没有孔，且被单条边环围住；实体的补集是单连通，没有洞穿过它；边完全与两个面邻接，且每端以一个顶点结束；顶点至少是三条边的汇合点。(c)v=9,e=16,f=951234正则形体形体的欧拉运算(a)v=8,e=12,f=6(b)v=9,e=14,f=71251234增加一条边：v=8,e=13,f=7广义欧拉公式V-E+F-R=2(S-H)其中，R为面上的孔穴数，H为贯穿多面体的孔穴数，S为形体非连通部分总数。v=16,e=

9、32,f=16r=0,s=1,h=1V=16,E=24,F=11,H=1,B=1,P=0实体的正则集合运算有效实体具有封闭性：一个有效实体经过一系列集合运算之后仍然是有效实体。普通的集合运算不能满足此要求。正则集合运算保证集合运算的结果仍是一个正则形体，即丢弃悬边、悬面等。对共同边的取舍：边的走向相反则无效三.形体（实体）的表示形体常用的3种表示方法：线框模型、表面模型、实体模型1.线框模型早期模型。用顶点和棱边来描述物体。一般地，画出了形体的棱线(边)与轮廓线就能唯一地表示出来。数据结构存储顶点列表和边列表长

10、方体的顶点表顶点表V1V2V3V4V5V6V7V8x坐标aaaa0000y坐标0bb00bb0z坐标00cc00cc长方体的边表边号E1E2E3E4E5E6E7E8E9E10E11E12起点号V1V2V3V4V5V6V7V8V1V2V3V4终点号V2V3V4V1V6V7V8V5V5V6V7V8对于多面体由于其轮廓线和棱线通常是一致的，所以多面体的线模型更便于识别，且简单。