归纳法的各种例子(7)

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1、归纳法的各种例子（7）习题与评注1．将级数相乘，你会得到展开的前两项。(a)再算出若干项，并尝试猜测其一般项。(b)验证y满足微分方程，利用此方程证明你的猜测。2．将级数，相乘，你会得到展开式的前两项。(a)再算出若干项，并尝试猜测其一般项。(b)如果你的猜测是正确的，它将引出一个念头，y满足一个简单的微分方程。建立此方程，证明你的猜测。3．幂级数满足函数方程。检验这些系数，如果必要，再导出一些来，尝试猜测其一般项。4．幂级灵敏f(x)=1+x+x2+2x3+4x4+…+anxn+…满足函数方程证明an

2、等于CnH2n+1OH（醇类）同分异构化合物的数目。在n=4的场合，答案是正确的。丁醇C4H9OH的种数是a4=4，它们表示在图5·1，每一种化合物描画成一个“树”箭头；H略去了。检验n的其他值。图5·1C4H9OH化合物5．证明：当n=0，1，2，3，4，5（mod6）时，分别有。6．一个椭圆绕它的长轴或短轴旋转时，分别形成一长旋转椭球面或扁旋转椭球面。对于长旋转椭球面的表面积，分别表示其精确值和近似值（a，b和的意义如§2所述）。求(a)相对误差的首项，(b)当b=0时的相对误差。相对误差的符号应如

3、何解释？7．对于扁旋转椭球面的表面积，分别表示其精确和近似值。求(a)相对误差的首项，(b)当b=0时的相对误差。相对误差的符号应如何解释。8．比较习题6和7，你认为哪一个近似值比较符合半轴为a，b，c的椭球面的表面积？相对误差的符号应如何解释？9〔§2〕．从椭圆的参数表达式x=asint，y=bcost出发，证明并由此导出在§2中援引但未证明的首项。10（续）．利用幂的展开式，证明0<≤1时，E>P。11〔§2〕．决定α的数值，使得式子P″=αP+（1-α）P′对于很小的数，给出E的最佳近似值。（也就

4、是使得误差（P″-E）/E展开式首项的幂次尽可能的高。）12（续）．按照§2的方法（归纳地！）研究近似值P″。13．给定正整数p和一个正数序列a1，a2，a3，…，an，…，证明。14（续）．指出使上式成为等式的一个序列a1，a2，a3，…。15．解释观察到的规律。物理学的发现时常是由两个步骤得到，即先从观察材料是看出某种规律性，然后将这种规律性解释成某一个普遍法则的推论。这两个步骤的间隔时间可能很长也可能由不同的人作出。一个很好的例子是关于刻卜勒和牛顿的：由刻卜勒观察到的有关行星运行的规律性，牛顿发现

5、的万有引力定律得到解释。类似的情况也发生在数学研究上，下面有一个很好的例子，它要求你具备不多的预备知识。普通的四位常用对数表列有900个尾数，包括了从100到999的整数的对数尾数。在观察前，我们或许会以为0，1，…，9这些数字在表中出现的次数会一样多，其实不然：从尾数的第一个有效数字来看，它们确实不一样多，计算第一个有效数字相同的尾数的个数，得出表I（检验它！）。第一个有效数字尾数数量比率01234567892633415265821031291642051.2691.2421.2681.2501.2

6、621.2561.2521.2711.250合计900观察表I的第二栏，我们可以看到，这里任意两个连续数的比都大致相同。这促使我们把这些比率算到若干位小数：它们列于表的最后一栏。为什么这些比率近乎相等？试通过观察到的近似规律考察出某种精确规律。表I第二栏的数字接近于几何级数的项，你能发现跟近似级数的项有简单联系的精确几何级数吗？〔也许精确级数的公比应该是表I最后一栏比率的某处平均数。〕16．观察到的事实的分类。博物学家的工作的重要部分是对其观察到的对象进行描述和分类。这种工作在林奈以后长期占优势。从那时

7、起，博物学家的主要工作就包括描述新的动植物品种和将已知的品种分类。他们描述和分类的不仅是动物和植物，还包括了其它对象，特别是矿物。晶体的分类，以其对称为依据。正确的分类很重要，它能将观察的不同种类缩小到一定数量的明确而有条理的程度。实在令人遗憾，数学家并不常有可能进行描述和分类，但有时也会遇上。如果人熟悉平面几何的某些简单概念（对称轴、对称中心）的话，那么，你就会对花纹感兴趣。图5·2展示的是十四条装饰条带，每个条带上都绘有循环重复的简单纵（横）线图案。我们称其为“花边”。请你为左边（用数字记号的）的每

8、一种花边，选配一种右边（用字母记号的）的花边，以使其具有同一种对称类型。此外，请你观察你能在形形色色的物体表面或古建筑上发现的条状花纹，并设法使其与图5·2的花边相配。最后，请你编制一张完整的、包括有花边的各种对称类型的表格，并对每一类型的对称做全面的描述。〔可以把花边看成是向两端无限延伸的，并把产生的图案当作无限次周期性地重现的。注意：“对称的类型”这个术语是尚未正式定义的。对这个术语作出合适的解释，则是你工作的重要部分。〕图5·2花边的