时域与采样课件

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1、1.3.2线性常系数差分方程的求解已知系统的输入序列，通过求解差分方程可以求出输出序列。求解差分方程的基本方法有以下三种：(1)经典解法。y(n)=yH(n)+yP(n)----Homogeneouspart:yH(n)----Particularpart:yP(n)(2)递推解法。迭代法，卷积和计算法(3)变换域方法。Z变换法递推解法：已知输入序列和N个初始条件，则可以求出n时刻的输出；如果将该公式中的n用n+1代替，可以求出n+1时刻的输出，因此(1.3.1)式表示的差分方程本身就是一个适合递推法求解的方程。例1.3.1

2、设系统用差分方程y(n)=ay(n-1)+x(n)描述，输入序列x(n)=δ(n)，求输出序列y(n)。解该系统差分方程是一阶差分方程，需要一个初始条件。y(n)=ay(n-1)+x(n)n=0时，y(0)=ay(-1)+δ(0)=1n=1时，y(1)=ay(0)+δ(1)=an=2时，y(2)=ay(1)+δ(2)=a2…n=n时，y(n)=any(n)=anu(n)=h(n)(1)设初始条件y(-1)=0n=0时，y(0)=ay(-1)+δ(0)=1+an=1时，y(1)=ay(0)+δ(1)=(1+a)an=2时

3、，y(2)=ay(1)+δ(2)=(1+a)a2…n=n时，y(n)=(1+a)any(n)=(1+a)anu(n)(2)设初始条件y(-1)=1该例表明，对于同一个差分方程和同一个输入信号，因为初始条件不同，得到的输出信号是不相同的。对于实际系统，用递推解法求解，总是由初始条件向n>0的方向递推，是一个因果解。但对于差分方程，其本身也可以向n<0的方向递推，得到的是非因果解。因此差分方程本身并不能确定该系统是因果还是非因果系统，还需要用初始条件进行限制。下面就是向n<0方向递推的例题。例1.3.2设差分方程为y(n)

4、=ay(n-1)+x(n)，式中x(n)=δ(n),y(n)=0,n>0，求输出序列y(n)。解n=1时，n=0时，n=-1时，……n=-n时，y(n-1)=a-1(y(n)-δ(n))y(0)=a-1(y(1)-δ(1))=0y(-1)=a-1(y(0)-δ(0))=-a-1y(-2)=a-1(y(-1)-δ(-1))=-a-2y(n-1)=-an-1将n-1用n代替，得到y(n)=-anu(-n-1)1.4模拟信号数字处理方法在绪论中已介绍了数字信号处理技术相对于模拟信号处理技术的许多优点，因此人们往往希望将模拟信号经

5、过采样和量化编码形成数字信号，再采用数字信号处理技术进行处理；处理完毕，如果需要，再转换成模拟信号，这种处理方法称为模拟信号数字处理方法。其原理框图如图1.4.1所示。图中的预滤与平滑所起的作用在后面介绍。本节主要介绍采样定理和采样恢复。图1.4.1模拟信号数字处理框图抗混叠滤波器抗镜像滤波器抽样、量化、编码Mychirp.m1.4.1采样定理及A/D变换器对模拟信号进行采样可以看作一个模拟信号通过一个电子开关S。设电子开关每隔周期T合上一次，每次合上的时间为τ<

6、P73图1.4.2对模拟信号进行采样非理想抽样：矩形窄脉冲抽样理想抽样：p(t)为单位冲激信号序列上式中δ(t)是单位冲激信号，在上式中只有当t=nT时，才可能有非零值，因此写成下式：(1.4.1)(1.4.2)理想抽样实域关系我们知道在傅里叶变换中，两信号在时域相乘的傅里叶变换等于两个信号分别的傅里叶变换的卷积，按照(1.4.2)式，推导如下：则，设理想抽样频域关系？？？？？？？(1.4.3)式中，Ωs=2π/T，称为采样角频率，单位是弧度/秒，(1.4.4)付立叶系数：则，tt(1.4.5)则，两信号在时域相乘的傅里叶变换等

7、于两个信号分别的傅里叶变换的卷积：上式表明采样信号的频谱是原模拟信号的频谱沿频率轴，每间隔采样角频率Ωs重复出现一次，或者说采样信号的频谱是原模拟信号的频谱以Ωs为周期，进行周期性延拓而成的。图1.4.3采样信号的频谱设xa(t)是带限信号，最高截止频率为Ωc，其频谱Xa(jΩ)如图1.4.3(a)所示。采样导致频谱的镜像(Image)出现在采样频率的倍数处：kFs±f频率分量如图1.4.3(c)所示，采样后有无限多个镜像。采样的频域表示10kHz信号表现：10kHz信号20kHz信号表现：20kHz信号30kHz信号表现：1

8、0kHz信号40kHz信号表现：0kHz信号50kHz信号表现：10kHz信号60kHz信号表现：20kHz信号70kHz信号表现：10kHz信号80kHz信号表现：0kHz信号采样频率：40KHz采样举例(1.5.6)理想低通滤波器：图1.4.4采样恢复图1.