acm算法 计算几何基础

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1、ACM程序设计计算机学院刘春英9/25/20211今天，你了吗？AC9/25/20212每周一星（6）：老菜(donhau)9/25/20213第七讲计算几何初步(ComputationalGeometryBasic)9/25/20214第一单元线段属性9/25/202159/25/202169/25/202179/25/202189/25/202199/25/2021109/25/2021119/25/2021129/25/202113思考：1、传统的计算线段相交的方法是什么？2、传统方法和本方

2、法的区别是什么？9/25/202114特别提醒：以上介绍的线段的三个属性，是计算几何的基础，在很多方面都有应用，比如求凸包等等，请务必掌握！9/25/202115第二单元多边形面积和重心9/25/202116基本问题（1）：给定一个简单多边形，求其面积。输入：多边形（顶点按逆时针顺序排列）输出：面积S9/25/202117思考如下图形：9/25/202118Anygoodidea?9/25/202119先讨论最简单的多边形——三角形9/25/202120三角形的面积：在解析几何里，△ABC的面积可

3、以通过如下方法求得：点坐标=>边长=>海伦公式=>面积9/25/202121思考：此方法的缺点：计算量大精度损失更好的方法？9/25/202122计算几何的方法：在计算几何里，我们知道，△ABC的面积就是“向量AB”和“向量AC”两个向量叉积的绝对值的一半。其正负表示三角形顶点是在右手系还是左手系。ABC成左手系，负面积ABC成右手系，正面积BCACBA9/25/202123大功告成：Area(A,B,C)=1/2*(↑AB)×(↑AC)=∣∣/2特别注意：以上得到是有向面积（有正负）！Xb–Xa

4、Yb–YaXc–XaYc–Ya9/25/202124凸多边形的三角形剖分很自然地，我们会想到以P1为扇面中心，连接P1Pi就得到N-2个三角形，由于凸性，保证这些三角形全在多边形内，那么，这个凸多边形的有向面积：A=sigma(Ai)(i=1…N-2)P1P2P3P4P5P6A1A2A3A49/25/202125凹多边形的面积？P1P4P3P29/25/202126依然成立！！！多边形面积公式：A=sigma(Ai)(i=1…N-2)结论：“有向面积”A比“面积”S其实更本质！9/25/20212

5、7任意点为扇心的三角形剖分：我们能把多边形分成N-2个三角形，为什么不能分成N个三角形呢？比如，以多边形内部的一个点为扇心，就可以把多边形剖分成N个三角形。P0P1P2P6P5P4P39/25/202128前面的三角剖分显然对于多边形内部任意一点都是合适的！我们可以得到：A=sigma(Ai)（i=1…N）即：A=sigma∣∣/2（i=1…N）Xi–X0Yi–Y0X(i+1)–X0Y(i+1)–Y09/25/202129能不能把扇心移到多边形以外呢？P0P1P2P3P49/25/202130既然

6、内外都可以，为什么不设P0为坐标原点呢？OP1P2P3P4现在的公式？9/25/202131简化的公式：A=sigma∣∣/2（i=1…N）XiYiX(i+1)Y(i+1)面积问题搞定！9/25/202132基本问题（2）：给定一个简单多边形，求其重心。输入：多边形（顶点按逆时针顺序排列）输出：重心点C9/25/202133从三角形的重心谈起：三角形的重心是：(x1+x2+x3)/3，(y1+y2+y3)/3可以推广否？Sigma(xi)/N,sigma(yi)/N(i=1…N)???9/25/2

7、02134看看一个特例：.9/25/202135原因：错误的推广公式是“质点系重心公式”，即如果认为多边形的质量仅分布在其顶点上，且均匀分布，则这个公式是对的。但是，现在多边形的质量是均匀分布在其内部区域上的，也就是说，是与面积有关的！9/25/202136Solution:剖分成N个三角形，分别求出其重心和面积，这时可以想象，原来质量均匀分布在内部区域上，而现在质量仅仅分布在这N个重心点上（等假变换），这时候就可以利用刚才的质点系重心公式了。不过，要稍微改一改，改成加权平均数，因为质量不是均匀分

8、布的，每个质点代表其所在三角形，其质量就是该三角形的面积（有向面积！），——这就是权！9/25/202137公式：C=sigma(Ai*Ci)/A(i=1…N)Ci=Centroid(△OPiPi+1)=(O+↑Pi+↑Pi+1)C=sigma((↑Pi+↑Pi+1)(↑Pi×↑Pi+1))/(6A)9/25/202138全部搞定！9/25/202139第三单元凸包(ConvexHull)9/25/2021409/25/2021419/25/2021429/25/2021439/2