第8章 微分熵与平均互信息

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1、第8章微分熵与平均互信息信息如何度量？8.1微分熵1、单符号连续信源定义信源发出的消息为单一符号，这些符号随机取值于一个连续域表示连续型随机变量X随机变量X的取值x为信源发出的消息例1例2概率密度函数p(x)如图所示2、熵与微分熵p(x)xbaa+(i-1)Δxa+iΔxx落在第i个区域的概率根据中值定理p(x)xbaa+(i-1)Δxa+iΔx①熵②微分熵消息x所对应概率密度函数p(x)对数负值的数学期望，用h(X)表示定义表示微分熵不能作为连续信源的信息度量定义微分熵的目的微分熵差具有信息度量的意义连续信源的微分熵与离散信源的熵在形式上统一

2、均匀信源的微分熵例3高斯信源的微分熵例4①不具有非负性例如，当b-a<1时，均匀分布信源的微分熵②严格上凸性3、微分熵的主要性质和最大微分熵定理③平均功率受限下的最大微分熵定理连续信源一般讨论特定限制条件下的最大微分熵最常用的限制条件——平均功率受限——均值为0且方差受限设p(x)是任意概率密度函数，但8.2联合微分熵与条件微分熵信源发出的消息为有限或可数的符号序列，符号序列中任何时刻的符号都随机取值于同一个连续域1、多符号连续信源定义表示连续型随机变量序列X1X2…Xn例1例22、联合微分熵与条件微分熵联合微分熵——消息x1x2…xn所对应联

3、合概率密度函数p(x1x2…xn)对数负值的数学期望，用h(X1X2…Xn)表示定义表示条件微分熵——消息x1x2…xn所对应条件概率密度函数p(xk/x1…xk-1)对数负值的数学期望，用h(Xk/X1…Xk-1)表示其中1

4、熵p(y/xi)ydcc+(j-1)Δyc+jΔyx落在第i个区域基础上信道转移概率密度函数p(y/xi)如图所示i=1,2,…,Np(y/xi)ydcc+(j-1)Δyc+jΔyy/xi落在第j个区域的信道转移概率根据中值定理①噪声熵②噪声微分熵信源消息x信宿消息y所对应信道转移概率密度函数p(y/x)对数负值的数学期望，用h(Y/X)表示定义表示3、平均互信息信宿消息y所对应概率密度函数p(y)与信源消息x信宿消息y所对应信道转移概率密度函数p(y/x)比值对数负值的数学期望，用I(X;Y)表示定义表示微分熵不能作为信息度量，平均互信息——

5、微分熵差，具有信息度量的意义以信宿为参考，利用信宿的微分熵和信道的噪声微分熵来度量信道中传输的平均信息量以信源为参考，利用信源的微分熵和信道的损失微分熵来度量信道中传输的平均信息量4、平均互信息的主要性质①对称性②非负性③严格凸性信道固定时，I(X;Y)对于信源概率密度函数p(x)严格上凸信源固定时，I(X;Y)对于信道转移概率密度函数p(y/x)严格下凸8.4联合平均互信息与条件平均互信息1、多符号连续信道定义对应于多符号连续信源和多符号连续信宿的信道表示信源——连续型随机变量序列X1X2…Xn信宿——连续型随机变量序列Y1Y2…YnX1X2

6、…Xnp(y1y2…yn/x1x2…xn)Y1Y2…Ynp(y1y2…yn/x1x2…xn)为信道转移概率密度函数2、联合平均互信息与条件平均互信息定义表示定义表示3、平均互信息的链式法则4、平均互信息的界