2011十月联考mpa数学—概率(2)

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1、第二部分本部分将用微积分的方法，从整体上来研究随机现象。随机变量及其分布1§2.1随机变量的概念在实际问题中，随机试验的结果可以用数量来表示，由此就产生了随机变量的概念.1、某些试验结果本身与实数有关(本身就是一个数).例如，伯努利实验中某事件发生的次数；某市八月份的最高气温；某地区的年平均降雨量；掷一颗骰子面上出现的点数；22、在有些试验中，试验结果看来与实数无那种“自然”的联系，但我们可以引入一个变量来表示它的各种结果.也就是说，把试验结果数值化.例1观测一粒种子的发芽实验.我们引入记号：显然，该试验有两个可能的结果：“发芽”或“不发芽”。于是我们就可以用表示种子发芽，而用表

2、示种子不发芽。X就是一个随试验结果而定的量----随机变量。3定义设随机试验E的样本空间是Ω，若存在一个函数X=X(ω)，对于每一个ω∈Ω,均有唯一确定的实数X(ω)与之对应,则称X=X(ω)为一个随机变量(randomvariable,简记为r.v.)。X(ω)R这种实值函数与在高等数学中大家接触到的函数一样吗？ω.4（1）它随试验结果的不同而取不同的值，因而在试验之前只知道它可能取值的范围，而不能预先肯定它将取哪个确切的值.（2）由于试验结果的出现具有一定的概率，于是这种实值函数取每个值以及每个确定范围内的值也具有一定的概率.随机变量通常用大写字母X,Y,Z或希腊字母等表示.

3、第一部分随机事件及其概率是以静态的观点研究随机现象，而本部分研究随机变量则是一种动态的观点.5随机变量概念的产生是概率论发展史上的重大事件。因为我们总可以通过某种方式将随机试验的结果数量化，于是，对随机现象统计规律的研究，就由对事件及事件概率的研究扩大为对随机变量及其取值规律的研究，并可以用数学分析的方法对随机试验的结果进行广泛深入的研究和讨论，这不仅使随机事件的表达形式上更简单，而且给我们用数学知识研究随机现象带来了极大的方便。随机变量的分类随机变量非离散型（重点是连续型）离散型6§2.2离散型随机变量及其概率分布若随机变量的全部取值为有限个或可列无穷多个，则称该随机变量为离散

4、型随机变量.对于离散型随机变量，关键是要确定两点：1）所有可能的取值是什么？2）以多大的可能性（概率）取这些值？称为离散型随机变量X的概率分布或分布律。7或写成如下的表格形式：8X可能取值是0,1,例2.2.1从装有3只白球和2只红球的口袋中任取一球，用X表示“取到的白球数”，求X的分布律.解所以X的分布律为9下面介绍离散型随机变量的几种常见分布。设随机变量X只有0，1两个可能取值，且分布律为或者(一)两点分布10若随机变量X的分布律为定义则称X服从参数为n,p的二项分布，又叫伯努利分布记为(二)二项分布二项分布是伯努利研究重复独立试验所引出的一个很重要的分布.它是应用广泛的一类

5、重要分布.例如机器维修问题中要了解台机床需要修理的机床数；昆虫群体问题中要了解n个虫卵中能孵化出成虫的个数等都服从二项分布.11下面我们通过例子谈谈如何应用二项分布来计算概率。例2.2.2某种疾病在儿童间传播，每名儿童感染此病的概率为0.0045，今抽查100名儿童进行检测，试计算至少有两名儿童感染此病的概率.解设X表示“100名儿童中感染此病的儿童数”，则于是其中故12定义若随机变量X的分布律为历史上泊松分布是作为二项分布的近似,于1837年由法国数学家泊松引入的。后来成功地用于描绘随机质点在时间或空间上的分布，它在质量控制、排队论、可靠性理论等许多领域都有重要应用．实际生活中

6、一般的稀有事件，如一定的时间内用户对电话交换中心的呼叫次数；某窗口接待的顾客数；某块麦田里变异植株数等都服从或近似地服从泊松分布。则称X服从参数为的泊松分布,记为(三)泊松分布13根据经验商店出售的某种商品月销售量X服从λ=7的泊松分布.问在月初进货时要库存多少件此种商品，才能以99%的概率满足顾客的需求？例2.2.3解设月初库存a件，依题意查表，必须取a=8。那么，14§2.3连续型随机变量及其分布密度除了离散型随机变量之外，还存在一类重要的非离散型随机变量——连续型随机变量.这种随机变量可取某个区间内的一切值。定义设X为随机变量，若存在非负可积函数f(x)(-∞

7、对任意实数a,b(a