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1、一、知识要点： 1.一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)的根的判别式Δ=b2-4ac。 Δ>0时，方程有两个不相等的实数根。 Δ=0时，方程有两个相等的实数根。 Δ<0时，方程没有实数根。 以上定理也可以逆向应用。在应用判别式之前，要把方程化为一般形式，以便正确找出a、b、c的值。 注意：（1）根的判别式是指Δ=b2-4ac，不是Δ=，（2）使用判别式之前一定要先把方程变为一元二次方程的一般形式。 2.根的判别式有以下应用： ①不解一元二次方程，判断根的情况。 ②根据方程根的情况，确定待定系数的取值范围。 ③证明字母系数方程有
2、实数根或无实数根。 注意：①如果说方程有实数根，即应当包括有两个不等实根或有两相等实根两种情况，此时b2-4ac≥0，切勿丢掉等号。 ②根的判别式b2-4ac的使用条件，是在一元二次方程中，而非别的方程中，因此，要注意隐含条件a≠0. 二、例题精讲： 例1．不解方程，判断下列方程的根的情况： (1)2x2+3x-4=0 (2)3x2+2=2x (3)x2+1=x (4)ax2+bx=0(a≠0) (5)ax2+c=0(a≠0) 分析；一元二次方程的根的情况是由Δ=b2-4ac的符号决定的，所以，在判断一元二次方程根的情况时，应想
3、尽办法判断出“Δ”的符号，然后根据判别式定理判定根的情况。尤其是当方程系数中含有字母时，一般利用配方法将“Δ”化成完全平方式或完全平方式加上（或减去）一个常数，再根据完全平方式的非负性判断“Δ”的符号，从而决定方程的根的情况，有时还需要对字母进行讨论。 解：(1)2x2+3x-4=0 a=2,b=3,c=-4, ∵Δ=b2-4ac =32-4×2×(-4)=41>0 ∴方程有两个不相等的实数根。 （2）将方程化为一般形式 3x2-2x+2=0 a=3,b=-2,c=2 ∴Δ=b2-4ac=(-2)2-4×3×2=0, ∴方程有两个
4、相等的实数根。 （3）将方程化为一般形式 x2-x+1=0 方程两边同乘以2（为了计算简便），得 x2-x+2=0 a=,b=-,c=2 ∵Δ=(-)2-4××2 =2-8<0 ∴方程没有实数根。 （4）ax2+bx=0(a≠0) ∵a≠0,∴方程是一元二次方程， 此方程是缺少常数项的不完全的一元二次方程，将常数项视为零， ∵Δ=b2-4·a·0=b2, ∵无论b取任何实数，b2均为非负数， ∴Δ≥0， 故方程有两个实数根。 （5）ax2+c=0(a≠0) ∵a≠0, ∴此方程是缺少一次项的不完全的一元二次方程，一次
5、项系数b=0 ∵Δ=02-4ac =-4ac 需要讨论a,c的符号，才能确定Δ的符号； 当c=0时，Δ=0,方程有两相等实根； 当a与c异号时，Δ>0,方程有两不等实根； 当a与c同号时，Δ<0，方程没有实数根。 注意：运用根的判别式判定一元二次方程根的情况时，必须先把方程化为一般形式，正确地确定各项系数。 例2．求证方程(m2+1)x2-2mx+(m2+4)=0没有实数根。 分析：先求出关于x的方程的根的判别式，然后只需说明判别式是一个负数，就证明了该方程没有实数根。 证明： Δ=(-2m)2-4(m2+1)(m2+4)
6、 =4m2-4(m4+5m2+4) =-4m4-16m2-16=-4(m4+4m2+4) =-4(m2+2)2 ∵不论m取任何实数(m2+2)2>0, ∴-4(m2+2)2<0,即Δ<0. ∴关于x的方程(m2+1)x2-2mx+(m2+4)=0没有实数根。 小结：由上面的证明认清证明的格式归纳出证明的步骤： （1）计算Δ （2）用配方法将Δ恒等变形 （3）判断Δ的符号 （4）结论 其中难点是Δ的恒等变形，一般情况下配方后变形后为形如：a2,a2+2,(a2+2)2,-a2,-(a2+2)2的代数式，从而判定正负，非负等情况。
7、 方程配方与代数式配方既有联系又有区别：方程配方是对方程进行同解变形，代数式配方是恒等变形，因此方程变形中两边除以二次项系数，而在代数式变形中为提取二次项系数。方程变形中等号两边同时加上一次项系数一半的平方，而在代数式变形中加上一次项系数一半的平方的同时，还需减去一次项系数一半的平方，以保证代数式恒等。 例3．已知关于x的方程kx2-4kx+k-5=0有两个相等的实数根，求k的值并解这个方程。 分析：∵方程有两个实数根，∴有隐含条件二次项系数k≠0, 又∵方程有两个相等的实数根，由判别式定理的逆定理可知Δ=0 解： Δ=(-4k)2-4·k
8、(k-5) =12k2+20k ∵方程有两个相等的实数根， ∴Δ=0，即12k2+20
