用mathematic求解教堂顶部曲面面积的计算方法

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1、常用数学软件包——小学期作业二、教堂顶部曲面面积的计算方法【问题描述】用整体面积法和部分面积求和法计算教堂顶部曲面面积,已知教堂顶部可近似看作半个椭球,长轴和短轴及高分别为,30.6,29。6,30.【问题分析】为了计算椭球面积,首先要定义椭球的参数方程,然后再定义XYZ关于UV的偏导数:然后根据参数方程求曲面积的算法,将其化为重积分计算,得半椭球面的面积。【问题求解】定义椭球参数方程:In[1]:=X=(30.6)*Sin[u]*Sin[v];In[2]:=Y=(29.6)*Sin[u]*Cos[v];In[3]:=Z=(30.)*Cos[u]

2、;然后定义X,Y,Z关于U,V的偏导数:In[4]:=xu:=D[x,u];In[5]:=xv:=D[x,v];In[6]:=yu:=D[y,u];In[7]:=yv:=D[y,v];In[8]:=zu:=D[z,u];In[9]:=zv:=D[z,v];根据参数方程求曲面积分的算法,将其化成重积分计算得半椭球面的面积In[10]:=f[u_,v_]:=Sqrt[{yu*zv-yv*zu}^2+{zu*xv-zv*xu}^2+{xu*yv-xv*yu}^2]In[11]:=XIntagrate[f[u_,v_],{u,0,0.5Pi},{v,0,2Pi

3、}]Out[11]:=5679.81作图得:In[12]:=ParametricPlotD[{30.6*Sin[u]*Sin[v],29.6*Sin[u]*Cos[v],30.*Cos[u]},{u,0,0.5Pi},{v,0,2Pi}]In[13]:=Clear[x,y,z,u,v]Out[12]:=Graphlca3D.因为该图形关于Z轴对称,所以,先定义该图形的1/24,也就是0<=u<=Pi/2,0<=v<=Pi/12时的参数方程,以及X,Y,Z关于U,V的骗到,这样,就可以去除原参数方程中的绝对值符号,避免由此产生的不可计算的问题。In[14

4、]:=X=z*Sin[u]+(1+(0.1)*Sin[v])*Cos[v];In[15]:=Y=z*Sin[u]+(1+(0.1)*Sin[v])*Sin[v];In[16]:=Z=z*Cos[u];In[17]:=z=30;In[18]:=xu:=D[x,u];In[19]:=xv:=D[x,v];In[20]:=yu:=D[y,u];In[21]:=yv:=D[y,v];In[22]:=zu:=D[z,u];In[23]:=zv:=D[z,v];根据曲面面积的算法,得该曲面面积的1/24为In[24]:=f[u_,v_]:=Sqrt[{yu*zv-

5、yv*zu}^2+{zu*xv-zv*xu}^2+{xu*yv-xv*yu}^2]In[25]:=XIntagrate[f[u_,v_],{u,0,0.5Pi},{v,0,{1./12}Pi}]Out[25]:=268.941于是,该曲面面积为In[26]:=#25*24In[27]:=Clear[x,y,z,u,v]Out[26]:=6454.59作该曲面图形In[28]:=x=r*Sin[u](1+0.1Abs[Sin[v]])Cos[v];In[29]:=y=r*Sin[u](1+0.1Abs[Sin[v]])Sin[v];In[30]:=z=r

6、*Cos[u];In[31]:=r=30.0In[32]:=ParametricPlotD[{x,y,z},{u,0,0.5Pi},{v,0,2Pi},ViewPoint->{-0.701,6.277,-2.633}]Out[32]:=Graphlca3D.

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