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《复合函数的定义域详细讲义与练习详细答案解析》由会员上传分享,免费在线阅读,更多相关内容在工程资料-天天文库。
1、..................................复合函数一,复合函数的定义:设y是u的函数,即y=f(u),u是x的函数,即u=g(x),且g(x)的值域与f(u)的定义域的交集非空,那么y通过u的联系成为x的函数,这个函数称为由y=f(u),u=g(x)复合而成的复合函数,记作y=f[g(x)],其中u称为中间变量。二,对高中复合函数的通解法——综合分析法1、解复合函数题的关键之一是写出复合过程例1:指出下列函数的复合过程。(1)y=√2-x2(2)y=sin3x(3)y=sin3x(4)y=3cos√1-x2解:(1)y=√2-x2是由y=√u,u=
2、2-x2复合而成的。 (2)y=sin3x是由y=sinu,u=3x复合而成的。(3)∵y=sin3x=(sinx)-3∴y=sin3x是由y=u-3,u=sinx复合而成的。 (4)y=3cos√1+x2是由y=3cosu,u=√r,r=1+x2复合而成的。2、解复合函数题的关键之二是正确理解复合函数的定义。看下例题:例2:已知f(x+3)的定义域为[1、2],求f(2x-5)的定义域。 经典误解1:解:f(x+3)是由y=f(u),u=g(x)=x+3复合而成的。 F(2x-5)是由y=f(u2),u2=g(x)=2x-5复合而成的。
3、 由g(x),G(x)得:u2=2x-11即:y=f(u2),u2=2x-11∵f(u1)的定义域为[1、2] ∴1≤x﹤2∴-9≤2x-11﹤-6即:y=f(u2)的定义域为[-9、-6] ∴f(2x-5)的定义域为[-9、-6] 经典误解2:解:∵f(x+3)的定义域为[1、2]∴1≤x+3﹤2∴-2≤x﹤-1∴-4≤2x﹤-2 ∴-9≤2x-5﹤-7∴f(2x-5)的定义域为[-9、-7] (下转2页)注:通过以上两例误解可得,解高中复合函数题会出
4、错主要原因是对复合函数的概念的理解模棱两可,从定义域中找出“y”通过u的联系成为x的函数,这个函数称为由y=f(u),u=g(x)复合而成的复合函数,记作y=f[g(x)],其中u称为“中间变量”。从以上误解中找出解题者易将f(x+3)的定义域理解成(x+3)的取值范围,从而导致错误。而从定义中可以看出u仅仅是中间变量,即u既不是自变量也不是因变量。复合函数的定义域是指y=f(u),u=g(x)中u=g(x)中的x的取值范围,即:f(x+3)是由f(u),u=x+3复合而成的复合函数,其定义域是x的取值范围。 正确解法:解:f(x+3)是由y=f(u1),u1=x
5、1+3(1≤x﹤2)复合而成的。 f(2x-5)是由y=f(u2),u2=2x2-5复合而成的 ∵1≤x1﹤2∴4≤u1﹤5∴4≤u2﹤5∴4≤2x2-5﹤5∴2≤x2﹤5专业技术Word资料下载可编辑..................................∴f(2x-5)的定义域为[2、5]结论:解高中复合函数题要注意复合函数的分层,即u为第一层,x为第二层,一、二两层是不可以直接建立关系的,在解题时,一定是同层考虑,不可异层考虑,若异层考虑则会出现经典误解1与2的情况。三、高中复合函数的题型(不包括抽象函数)题型
6、一:单对单,如:已知f(x)的定义域为[-1,4],求f(x2)的定义域。题型二:多对多,如:已知f(x+3)的定义域为[1、2],求f(2x-5)的定义域。 (下转3页)题型三:单对多,如:已知f(x)的定义域为[0、1],求f(2x-1)的定义域。题型四:多对单,如:已知f(2x-1)的定义域为[0、1],求f(x)的定义域。注:通解法——综合分析法的关键两步:第一步:写出复合函数的复合过程。第二步:找出复合函数定义域所真正指代的字母(最为关键)下面用综合分析法解四个题型题型一:单对单:例3:已知f(x)的
7、定义域为[-1、4],求f(x2)的定义域。第1步:写出复合函数的复合过程:f(x2)是由y=f(u),u=x22复合而成的。(由于要同层考虑,且u与x的取值范围相同,故可这样变形)f(x)是由y=f(u),u=x1复合而成的。∵f(x)的定义域为[-1、4]第2步:找出复合函数定义域的真正对应∴-1≤x1﹤4即-1≤u﹤4又∵u=x22∴-1≤x22﹤4(x2是所求f(x2)的定义域,此点由定义可找出)∴-2﹤x2﹤2∴f(x2)的定义域为(-2,2)结论:此题中的自变量x1,x2通过u联系起来,故可求解。题型三