难点27求空间的角

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1、本资料从网上收集整理难点27求空间的角空间的角是空间图形的一个要素,在异面直线所成的角、线面角、二面角等知识点上,较好地考查了学生的逻辑推理能力以及化归的数学思想.●难点磁场(★★★★★)如图,α—l—β为60°的二面角,等腰直角三角形MPN的直角顶点P在l上,M∈α,N∈β,且MP与β所成的角等于NP与α所成的角.(1)求证:MN分别与α、β所成角相等;(2)求MN与β所成角.●案例探究[例1]在棱长为a的正方体ABCD—A′B′C′D′中,E、F分别是BC、A′D′的中点.(1)求证:四边形B′EDF是菱形;(2)求

2、直线A′C与DE所成的角;(3)求直线AD与平面B′EDF所成的角;(4)求面B′EDF与面ABCD所成的角.命题意图:本题主要考查异面直线所成的角、线面角及二面角的一般求法,综合性较强,属★★★★★级题目.知识依托:平移法求异面直线所成的角,利用三垂线定理求作二面角的平面角.错解分析:对于第(1)问,若仅由B′E=ED=DF=FB′就断定B′EDF是菱形是错误的,因为存在着四边相等的空间四边形,必须证明B′、E、D、F四点共面.技巧与方法:求线面角关键是作垂线,找射影,求异面直线所成的角采用平移法.求二面角的大小也可应

3、用面积射影法.(1)证明:如上图所示,由勾股定理,得B′E=ED=DF=FB′=a,下证B′、E、D、F四点共面,取AD中点G,连结A′G、EG,由EGABA′B′知,B′EGA′是平行四边形.∴B′E∥A′G,又A′FDG,∴A′GDF为平行四边形.∴A′G∥FD,∴B′、E、D、F四点共面第8页共8页本资料从网上收集整理故四边形B′EDF是菱形.(2)解:如图所示,在平面ABCD内,过C作CP∥DE,交直线AD于P,则∠A′CP(或补角)为异面直线A′C与DE所成的角.在△A′CP中,易得A′C=a,CP=DE=a,

4、A′P=a由余弦定理得cosA′CP=故A′C与DE所成角为arccos.(3)解:∵∠ADE=∠ADF,∴AD在平面B′EDF内的射影在∠EDF的平分线上.如下图所示.又∵B′EDF为菱形,∴DB′为∠EDF的平分线,故直线AD与平面B′EDF所成的角为∠ADB′在Rt△B′AD中,AD=a,AB′=a,B′D=a则cosADB′=故AD与平面B′EDF所成的角是arccos.(4)解:如图,连结EF、B′D,交于O点,显然O为B′D的中点,从而O为正方形ABCD—A′B′C′D的中心.作OH⊥平面ABCD,则H为正方

5、形ABCD的中心,再作HM⊥DE,垂足为M,连结OM,则OM⊥DE,第8页共8页本资料从网上收集整理故∠OMH为二面角B′—DE′—A的平面角.在Rt△DOE中,OE=a,OD=a,斜边DE=a,则由面积关系得OM=a在Rt△OHM中,sinOMH=故面B′EDF与面ABCD所成的角为arcsin.[例2]如下图,已知平行六面体ABCD—A1B1C1D1中,底面ABCD是边长为a的正方形,侧棱AA1长为b,且AA1与AB、AD的夹角都是120°.求:(1)AC1的长;(2)直线BD1与AC所成的角的余弦值.命题意图:本题

6、主要考查利用向量法来解决立体几何问题,属★★★★★级题目.知识依托:向量的加、减及向量的数量积.错解分析:注意<>=<,>=120°而不是60°,<>=90°.技巧与方法:数量积公式及向量、模公式的巧用、变形用.第8页共8页本资料从网上收集整理∴BD1与AC所成角的余弦值为.●锦囊妙计空间角的计算步骤:一作、二证、三算1.异面直线所成的角范围:0°<θ≤90°方法:①平移法;②补形法.2.直线与平面所成的角范围:0°≤θ≤90°方法:关键是作垂线,找射影.3.二面角方法:①定义法;②三垂线定理及其逆定理;③垂面法.注:二

7、面角的计算也可利用射影面积公式S′=Scosθ来计算●歼灭难点训练一、选择题1.(★★★★★)在正方体ABCD—A1B1C1D1中,M为DD1的中点,O为底面ABCD的中心,P为棱A1B1上任意一点,则直线OP与直线AM所成的角是()A.B.C.D.2.(★★★★★)设△ABC和△DBC所在两平面互相垂直,且AB=BC=BD=a,∠CBA=∠CBD=120°,则AD与平面BCD所成的角为()A.30°B.45°C.60°D.75°二、填空题3.(★★★★★)已知∠AOB=90°,过O点引∠AOB所在平面的斜线OC,与OA

8、、OB分别成45°、60°,则以OC为棱的二面角A—OC—B的余弦值等于_________.4.(★★★★)正三棱锥的一个侧面的面积与底面积之比为2∶3,则这个三棱锥的侧面和底面所成二面角的度数为_________.三、解答题5.(★★★★★)已知四边形ABCD为直角梯形,AD∥BC,∠ABC=90°,PA⊥平面AC

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