课后习题及答案1-3

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1、第1章习题1、求函数的等值面方程。解：根据等值面的定义：标量场中场值相同的空间点组成的曲面称为标量场的等值面，其方程为。设常数E，则，，即：针对不同的常数E（不为0），对应不同的等值面。2、已知标量场，求场中与直线相切的等值线方程。解：根据等值线的定义可知：要求解标量场与直线相切的等值线方程，即是求解两个方程存在单解的条件，由直线方程可得：，代入标量场，得到：，满足唯一解的条件：，得到：，因此，满足条件的等值线方程为：3、求矢量场的矢量线方程。解：由矢量线的微分方程：本题中，，，，则矢量线为：，由此得到三个联立方程：，，，解之，得到：，，，整理，，，它们代表一簇经过坐标原点的直线。1、求标量

2、场在点M(2,0,-1)处沿方向的方向导数。解：由标量场方向导数的定义式：直角坐标系下，标量场u在可微点M处沿l方向的方向导数为、、分别是l方向的方向角，即l方向与的夹角。、、分别是l方向的方向余弦。，，令：则：，，，2、求标量场在点M(0,0,0)、点M(1,1,1)处的梯度，并找出场中梯度为0的点。解：由梯度定义：则：若要梯度为零，则需使得梯度中各项分量为零，即：解之，得到：即，在点（-2，1，1）处，标量场的梯度为零。1、设，，n为正整数。求、、。解：根据题意及梯度定义：2、求矢量场在点M(1,0,-1)处的散度。解：由题意及散度定义：，将M(1,0,-1)代入：得到：3、设为常矢量，

3、，，求、、，证明解：由散度运算公式：1）2）3）4）证明：因为：且：，，均为常数，所以有：得证。1、设无限长细直导线与z轴重合，其上有沿正z轴方向流动的电流I，导线周围的磁场计算。解：由题意及散度的定义：10、已知，求。解：由题意及散度运算性质：所以：11、计算下列矢量场的旋度：（1）；（2）；解：由矢量场旋度定义式，可得：1）2）12、已知，，计算。解：由题意及矢量的旋度运算公式：13、已知，，为常矢量，求、、。解：1）2）3）14、已知，，求。解：由题意及运算规则，先求出，再求旋度：15、已知位于坐标原点处电量为q的点电荷产生的电位移矢量为，其中，，计算和。解：由题意：1）2）在r=0处

4、，无意义，不存在。16、证明，。证明：1）由标量场梯度的定义式：由令：则：由此得证。2）由旋度定义：则：由此得证。17、已知，求，并计算。解：由题意及柱坐标下梯度的计算公式：由可得：18、已知，计算、。解：由题意及柱坐标下散度、旋度的计算公式：可得：19、已知，求。解：由题意及球坐标下梯度的计算公式：可得：20、已知，计算、。解：由题意及球坐标下散度、旋度的计算公式：第2章习题1、三个点电荷q1=4C、q2=2C、q3=2C，分别放置于(0,0,0)、(0,1,1)、(0,-1,-1)三点上，求作用于(6,0,0)点处单位负电荷上的力。解：由库仑定律，得点电荷间作用力：令(6,0,0)点处单

5、位负电荷为q；则电荷q1对电荷q的作用力：电荷q2对电荷q的作用力：电荷q3对电荷q的作用力：所以，作用于q点电荷的作用力为：1、长度为L的线上电荷密度为，为常数，计算该带电线的垂直平分线上任意点的电场强度。解：由库仑定律及点电荷间作用力公式：令带电线沿Z轴方向，其中点位于坐标原点，则其垂直平分线位于xy平面内。1、总电量为Q的电荷按以下方式分布在半径为a的球形区域：（1）均匀分布于r=a的球面上；（2）均匀分布在ra的球体中；（3）以体电荷密度分布于ra的球中。计算球内、球外的，并绘出曲线。解：本题（1）、（2）、（3）中，电荷均以球心为中心对称分布，因此，电场都只有方向的分量，即；也就是

6、说，在以球心为中心的任何球面上都相等，可以应用高斯定理积分形式来求解；很明显，本题求解可选用球坐标系，（1）、（2）、（3）均取的球心为球坐标系的坐标原点。（1）、电量Q均匀分布在的球面上。在的球内，应用高斯定理，可得：，解之：；同理，当时，应用高斯定理，可得：，解之：（2）、电量Q均匀分布在的球内。则球内任意一点的电荷密度为：；在的球内，应用高斯定理，可得：解之：；同理，当时，应用高斯定理，可得：，解得：（3）以体电荷密度分布于ra的球中。在的球内，应用高斯定理，可得：；解之，得到：在的球面上，在的球外，应用高斯定理，可得：通过计算可知，以上三种情况下，在处，电场强度均相同。1、两个无限长

7、的r=a和r=b（b>a）的同轴圆轴表面分别带有面电荷密度和,（1）计算各处的E；（2）欲使r>b处E=0，则和应具有什么关系？解：本题中，两个圆柱同轴，场呈轴对称、二维分布，宜选用柱坐标来求解，以同轴圆柱面的轴心线为z轴，则场分布在xy平面上，并且只与径向坐标r有关。可应用高斯定理求解，选取以z轴为中轴线的单位长圆柱面作为高斯面，由于场只有径向分量，因而只有侧面由通量；并且，侧面积为：（1）、计算各处的场：