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1、1数学建模简单建模实例2021/9/92建模实例实例一：椅子能在不平的地面上放稳吗？把椅子往不平的地面上放，通常只有三只脚着地，放不稳，然而只需挪动几次，就可以使四脚同时着地，放稳了。这看来似乎与数学无关的现象能够用数学语言以表述，并用数学工具来证实吗？2021/9/93建模实例模型假设：对椅子和地面应该作一些必要的假设。1．椅子四条腿一样长，椅脚与地面接触处可视为一个点，四脚的连线呈正方形。2．地面高度是连续变化的，沿任何方向都不会出现间断，即地面可视为数学上的连续曲面。3.对椅脚的间距和椅脚的长度而言，地面
2、是相对平坦的，使椅子在任何位置至少三只脚着地。2021/9/94建模实例这里假设1显然是合理的，假设2相应于给出了椅子能放稳的条件，因为如果地面高度不连续，譬如在有台阶的地方是无法使椅子四脚同时着地的，至于假设3是要排除这样的情况：地面上与椅脚间距和椅腿长度的尺寸大小相应的范围内，出现深沟或凸峰，致使三只脚无法同时着地。2021/9/95建模实例模型构成：这里首先要解决的中心问题是用数学语言把椅子四脚同时着地的条件和结论表示出来。首先要用变量表示椅子的位置，注意到椅脚连线呈正方形，以中心为对称点，正方形绕中心的
3、旋转正好代表了椅子位置的改变，于是可以用旋转角度这一变量表示椅子的位置。2021/9/96建模实例图中椅脚连线为正方形ABCD，对角线AC与x轴重合椅子绕中心点旋转角度后，正方形ABCD转至A`B`C`D`的位置，所以对角线AC与x2021/9/97建模实例轴的夹角表示了椅子的位置。其次要把椅子脚着地，用数学符号表示出来，如果用某个变量表示椅脚与地面的竖直距离，那么当这个距离为零时就是椅脚着地了，椅子在不同的位置椅脚与地面的距离不同，所以这个距离就是位置变量的函数。2021/9/98建模实例虽然椅子只有四个距离
4、，但是由于正方形的中心对称性，只要设两个距离函数就行了，记A，C两脚与地面的距离之和为f()，B，D两脚与地面的距离之和为g()，f(),g()≥0，由假设2，f与g均是连续函数。由假设3，椅子在任何位置至少有三只脚着地，所以对于任意的，f(),g()中至少有一个为零，当=0时不妨设g()=0,f()>0。2021/9/99建模实例这样，改变椅子的位置，使四脚同时着地，就归结为证明如下数学命题：已知f()与g()是的连续函数，对任意的，f()g()=0且g(0)=0，f(0)>0.则存在0使f(0)=g(0)=
5、0.2021/9/910建模实例可以看到，引入了变量和函数就把模型的假设条件和椅脚同时着地的结论用简单、精确的数学语言表述出来，从而构成了这个实际问题的数学模型。模型求解上述命题有多种证明方法，这里介绍其中的一种，将椅子旋转900，对角线AC与BD互换，由于g(0)=0,f(0)>0，可知g(90)>0,f(90)=0.2021/9/911建模实例令h()=f()-g(),则h(0)>0,h(90)<0,由于f和g的连续性可知，h也是连续函数，根据连续函数的基本性质可知，必存在0（0<0<90）使h(0)=0,
6、即f(0)=g(0).最后由于g(0)f(0)=0，即g(0)=f(0)=0.2021/9/912建模实例评注：这个模型的巧妙之处在于用一元变量表示椅子的位置，用的两个函数表示椅子的四脚与地面的距离，利用正方形的中心对称及旋转900并不是本质的，大家可以考虑四脚呈长方形的情形（作业）2021/9/913建模实例例2商人怎样安全过河？三名商人各带一个随从乘船渡河，一只小船只能容纳二人，由他们自已划行，随从们密约，在河的一岸，一旦随从的人数比商人多，就杀人越货，但是如何乘船渡河大权掌握在商人手中，商人们怎样才能安全
7、渡河呢？2021/9/914建模实例这里是要用数学方法求解，一是为了给出建模的示例，二是因为这类模型可以解决相当广泛的一类问题，比逻辑思索的结果容易推广。由于问题已经理想化了，所以不必再作假设。安全渡河问题可以视为一个多步决策过程。每一步即船由此岸驶向彼岸或从彼岸驶回此岸，都要对船上的人员作出决策，在保证安全的前题下，在有限步内使人员全部过河，2021/9/915建模实例用状态变量表示某一岸的人员状况，决策变量表示船上的人员状况，可以找出状态随决策变化的规律。问题转化为在状态的充许变化范围内，确定每一步的决策，
8、达到渡河的目标模型的过成：记第k次渡河前此岸的商人数为xk随从数为yk,k=1,2,……，xk,yk=0,1,2,3，将二维向量sk=(xk,yk)定义为状态，2021/9/916建模实例安全渡河条件下的状态集称为允许状态集合，记作S，不难写出S={（x,y）
9、x=0,y=0,1,2,3;x=y=1,2}-(1)记第k次渡船上的商人数为uk,随从数为vk,将二维向量dk=(uk,vk)
