基于等高线生成三维地形的研究

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1、基于等高线生成三维地形图的研究摘要本文主要采用插值的方法，根据等高线图生成三维的地形图；利用梯度下降最快的方法求出雨水的流动路径。问题一中，首先根据数字图像处理等有关技术，从地形图中提取出只含有等高线的地图。然后从等高线中提取若干离散的数据点，利用Delaunay三角网对提取的离散数据点进行三维建模，然后分别利用线性插值和三次Hermite插值算法重建了三维地形图。最后利用matlab对算法进行了检验，并对线性插值和三次Hermite插值的结果进行了比较，从所得结果来看，利用三次Hermite插值的结果效果要好一些，构建了三维地形图符合等高线的规律，生成的三维图形逼真。

2、问题二中，根据题意知雨水流动的方向为地形图上梯度下降最快的方向，则问题转化为已知函数最大值点按最速下降原理求解函数的最小值一个迭代问题。本文采用牛顿法进行求解，并记录下每次迭代下点的值，则由这些点构成路径就是下雨时雨水沿地形表面流动的方向。关键词：插值；等高线；Delaunay三角网；三维地形图；梯度方向；牛顿法一.问题的重述在地图上，把陆地表面海拔高度相等的各点连接成的线，叫等高线。把地面上海拔高度相同的点连成的闭合曲线。垂直投影到一个标准面上，并按比例缩小画在图纸上，就得到等高线。等高线也可以看作是不同海拔高度的水平面与实际地面的交线，所以等高线是闭合曲线。等高线的

3、特性有：（1）位于同一等高线上的地面点，海拔高度相同。（2）在同一幅图内，除了悬崖以外，不同高程的等高线不能相交。在图廓内相邻等高线的高差一般是相同的，因此地面坡度与等高线之间的水平距离成反比，相邻等高线水平距离愈小，等高线排列越密，说明地面坡度愈大；相邻等高线之间的水平距离愈大，等高线排列越稀，则说明地面坡度愈小。因此等高线能反映地表起伏的势态和地表形态的特征。问题一：建立数学模型，根据等高线生成三维地形图，评价模型的合理性。问题二：根据生成的三维地形图上，建立数学模型分析下雨时水流的形成线路。二．问题分析对问题一的求解，根据等高线生成三维地形图。首先必须提取图像中的

4、等高线，利用数字图像处理方面的相关技术，可以很好的得到一幅只含有等高线的图像。得到等高线图像后，为了得到整个三维地图，还需要知道图像中每个点(像素)的高度，而已知的只有等高线上的点的高度值，为了得到其他点的高度值，可以采用插值的方法得到，这样就能生成一个三维的地形图了。对于问题二的求解，在生成的三维图形上求出下雨时形成的线路。根据物理学原理，水是按照地表梯度下降最快的方向流动的。在生成的三维地形图上，可以求出各点的梯度值，然后找出梯度下降最快的方向，即是下雨时雨水流形成的路线。三．符号说明：为图像中第个点的横坐标为图像中第个点的纵坐标为图像中第个点的值，也即地图中第个点

5、的高度为取自等高线上的第i个节点f为地图上某点高度z关于x，y的函数为函数f在第k个点处的梯度四．模型假设：1．不考虑图像中除等高线外的所有障碍物，即只考虑等高线生成三维地形；2．本文不重点说明如何从图像中提取等高线图，只考虑提取等高线图后的工作；3．假设三维地形函数是连续的。五．模型的建立5.1问题一的模型建立首先根据数字图像处理方面的技术和方法，从原图中提取了只含有等高线的图。然后以图像的两边分别为轴和y轴，垂直图像的方向为z轴建立空间坐标系。则等高线上每点的空间坐标都是已知的。根据题目要求要生成整个的三维地图，即要求出图像上其他各点的三维空间坐标。本文采用三角形插

6、值的方法由已知点的坐标插值出其他点空间坐标，从而拟合出一个三维的地图形。首先从等高线上任意选取n个离散的点，这些点记为，；其中为点的横坐标，为点的纵坐标，为其竖直坐标。再得到这些离散的点后，然后本文根据Delaunay准则[1]生成三角网。其中以Delaunay准则生成的三角网具有以下特征：　　1.Delaunay三角网是唯一的；　　2.三角网的外边界构成了点集P的凸多边形“外壳”；　　3.没有任何点在三角形的外接圆内部，反之，如果一个三角网满足此条件，那么它就是Delaunay三角网。　　4.如果将三角网中的每个三角形的最小角进行升序排列，则Delaunay三角网的排

7、列得到的数值最大，从这个意义上讲，Delaunay三角网是“最接近于规则化的“的三角网。　　由Delaunay准则生成的三角形网的具有以下优点：　　1.在Delaunay三角形网中任一三角形的外接圆范围内不会有其它点存在并与其通视，即空圆特性；　　2.在构网时，总是选择最邻近的点形成三角形并且不与约束线段相交；　　3.形成的三角形网总是具有最优的形状特征，任意两个相邻三角形形成的凸四边形的对角线如果可以互换的话，那么两个三角形6个内角中最小的角度不会变大；4.不论从区域何处开始构网，最终都将得到一致的结果，即构网具有唯一性。Delauna