2014-2019年中国通风机行业市场分析与发展战略咨询报告

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1、10微分中值定理的推广及应用摘要:微分中值定理是罗尔定理、拉格朗日定理、柯西定理和泰勒定理的统称。这些定理是揭示函数与其导数之间内在联系的公式，是利用导数的局部性去研究函数在区间上整体性的重要工具。本文从其它角度归纳、推导了几个新的形式，拓宽了微分中值定理的使用范围。同时，用实例说明了微分中值定理在讨论方程根的存在性、证明等式、证明不等式、求极限以及研究函数的形态等方面的一些应用。关键字：微分中值定理推广应用101微分中值定理的内容及联系31.1基本内容31.1.1罗尔中值定理31.1.2拉格朗日中值定理31.1.3柯西中值定理31.1

2、.4泰勒定理31.2定理之间的联系42定理的推广5定理15定理26定理36定理47定理57定理683定理的应用93.1讨论方程根的存在性93.2证明等式93.3证明不等式103.4求极限103.5研究函数的性态103.6导数的估值问题104参考文献10101微分中值定理的内容及联系1.1基本内容1.1.1罗尔中值定理若函数f(x)满足如下条件：（i）f(x)在闭区间[a，b]上连续；（ii）f(x)在开区间（a，b）内可导；（iii）f(a)=f(b),则在（a，b）内至少存在一点ζ，使得f'ζ=0。1.1.2拉格朗日中值定理若函数f(

3、x)满足如下条件：（i）f(x)在闭区间[a，b]上连续；（ii）f(x)在开区间（a，b）内可导；则在（a，b）内至少存在一点ζ，使得f'(ζ)=fb-f(a)b-a。1.1.3柯西中值定理设函数f(x)和g(x)满足（i）在闭区间[a，b]上连续；（ii）在开区间（a，b）内可导；（iii）f’(x)与g’(x)不同时为零；（iv）g(a)≠g(b);则在ζ∈（a，b），使得f'(ζ)g'(ζ)=fb-f(a)gb-g(a)。1.1.4泰勒定理10若函数f’(x)在[a，b]上存在直至n阶的连续导函数，在（a，b）内存在n+1阶导函

4、数，则对任意给定的x，x0∈[a，b]至少存在一点ζ∈[a，b]，使得fx=fx0+f'x0x-x0+f''(x0)2!(x-x0)2+⋯+fnx0n!x-x0n+fn+1(ζ)(n+1)!(x-x0)n+11.1定理之间的联系对这四个定理进行观察和类比，从中可以发现这四个定理中，最重要的内容是拉格朗日中值定理，可以说其他三个中值定理都是拉格朗日中值定理的特殊情况或推广。所以微分中值定理之间的联系可以用下图表述。柯西中值定理f'(ζ)g'(ζ)=fb-f(a)gb-g(a)罗尔中值定理f'ζ=0推广特例g(x)=x推广特例f(a)=f(

5、b)拉格朗日中值定理f'(ζ)=fb-f(a)b-a特例n=0推广fx=fx0+f'x0x-x0+f''(x0)2!(x-x0)2+⋯+fnx0n!x-x0n+fn+1(ζ)(n+1)!(x-x0)n+1102定理的推广定理1设函数f(x)在[a，b]内可导，且limx→a+fx=limx→b-f(x)=c，则在（a，b）内至少存在一点ζ，使f'ζ=0。这里的a可以是有限数或－∞，b是有限数或＋∞，c是有限数或∞。证明：因fa+0=limx→a+fx=fb-0=limx→b-fx=c(1)若c≠∞且（a，b）为无穷，由已知条件，对∀ϵ>

6、0，方程f(x)=c+ε或f(x)=c-ε至少有两个不同的根，设为a1，b1且a1＜b1，于是函数f(x)在[a1，b1]⊏(a,b)满足罗尔定理的条件，从而在（a，b）内至少存在一点ζ使得f'ζ=0；(2)若c＝∞，a，b是有限数或∞，由已知条件，任意固定的正数M，方程f(x)=M(f(a＋0)=f(b－0)=＋∞)或f(x)=－M(f(a＋0)＝f(b－0)＝－∞)至少有两个不同的根，设a2，b2且a2＜b2，对f(x)在[a2，b2]上应用罗尔定理，则得在a2,b2⊂a,b内至少有一点ζ，使得f'ζ=0。综上所述，定理成立。10定

7、理2设f(x)，g(x)，h(x)在[a，b]上连续，在（a，b）内可导，则∃ζ∈(a，b)使f(a)g(a)h(a)f(b)g(b)h(b)f'(ξ)g'(ξ)h'(ξ)=0。证明：设F(x)=f(a)g(a)h(a)f(b)g(b)h(b)f'(ξ)g'(ξ)h'(ξ)则F(x)在[a，b]上连续，在（a，b）内可导。由行列式的性质得：F(a)=F(b)=0,故依罗尔定理，∃ζ∈(a，b），使F'(ζ)=0。即：f(a)g(a)h(a)f(b)g(b)h(b)f'(ξ)g'(ξ)h'(ξ)=0。注：（1）令h(x)=x，即可推出柯西

8、微分中值定理；（2）令g(x)=x，h(x)=1，即可推出拉格朗日微分中值定理。定理3f(x)，g(x)在[a，b]上连续，在（a，b）内可导，则存在ζ∈（a，b）使fb-fag'ζ=gb-gaf'(ζ)。