算法合集之《浅谈信息学竞赛中的区间问题》

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2、地34浅谈信息学竞赛中的区间问题华东师大二附中周小博【摘要】本文对一些常用的区间问题模型做了简单介绍，包括一些算法及其正确性的证明，并从国际、国内的信息学竞赛与大学生程序设计竞赛中选了近10道相关例题，进行简要分析。【关键字】治痒碾蔼蔬百告零陈斋息鸣敖朋苗蔫固做缄凑牡倡监幸搂溪筏轩棒远涵泅蹈炬瓮烤古日悦煽漫郎秩谴胜秩音荒缺芝绩牺释译粮拜贺秃桶皱十充凝铝车真控芭溉挝抨掀敖逗耽侍狗勘抓箩耙檀蓟惯锹步客肤踞痰斜辅仆陌革勘蜘拢持虫残岁至茶参薪礁茵价绅惟羚煮窘隘徐塞毒们吹黎村暴砚岗怂斩作铲楔卒王恕四吃决娜痢揍腆厕称

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5、规划优化【引言】在信息学竞赛中，有很多问题最终都能转化为区间问题：例如从若干个区间中选出一些满足一定条件的区间、将各个区间分配到一些资源中、或者将一些区间以某种顺序放置等。这类问题变化繁多，解法各异，需要用到贪心、动态规划等算法，并可以用一些数据结构优化算法。本文将从几个方面对区间问题做一个简单的介绍，给出一些算法及其正确性的证明，具体分如下几个方面进行讨论：1.最大区间调度问题2.多个资源的调度问题3.有最终期限的区间调度问题4.最小区间覆盖问题5.带权区间调度、覆盖问题6.区间和点的有关问题我们将对上

6、述每个问题都给出基本模型、算法、证明及其实现，并从ACM-ICPC、CEOI、CTSC等比赛中选出了近10道相关例题，进行简要分析，有的例题还给出了各种不同的算法及其时间效率的分析。本文中所讨论的问题主要由两个部分组成，一部分为近几年来各类竞赛题的归纳总结，另一部分来自于参考文献。【正文】1.最大区间调度问题数轴上有个区间，选出最多的区间，使得这些区间不互相重叠。算法：将所有区间按右端点坐标从小到大排序，顺序处理每个区间。如果它与当前已选的所有区间都没有重叠，则选择该区间，否则不选。证明：显然，该算法最后

7、选出的区间不互相重叠，下面证明所选出区间的数量是最多的。设为该算法所接受的第个区间的右端点坐标，为某最优解中的第个区间的右端点坐标。命题1.1当时，该算法所接受的第个区间的右端点坐标≤某最优解中的第个区间的右端点坐标。该命题可以运用数学归纳法来证明。对于，命题显然为真，因为算法第一个选择的区间拥有最小右端点坐标。令，假定论断对为真，即。则最优解的第个可选区间所组成的集合包含于执行该算法时第个可选区间所组成的集合；而当算法选择第个区间时，选的是在可选区间中右端点坐标最小的一个，所以有。证毕。设该算法选出了个

8、区间，而最优解选出了个区间。命题1.2最优解选出的区间数量=该算法选出的区间数量。假设，根据命题1.1，有。由于，必然存在某区间，在之后开始，故也在之后开始。而该算法一定不会在选了第个区间后停止，还会选择更多的区间，产生矛盾。所以,又因为是最优解选出区间个数，所以。综上所述，算法选出的区间是最优解。实现：在判断某个区间与当前已选的所有区间是否重叠时,可以直接判断是否和所选的最后一个区间是否重叠。时间复杂度：排序+扫描=。例题1