三大分布及其分位数

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1、2021/7/101§1.5常用的分布及其分位数1.卡方分布卡平方分布、t分布及F分布都是由正态分布所导出的分布，它们与正态分布一起，是试验统计中常用的分布。当X1、X2、…、Xn相互独立且都服从N(0,1)时，的分布称为自由度等于n的x2(n)分布，记作Z～x2(n)(n).它的分布密度2021/7/102x2(n)分布是非对称分布，具有可加性，也叫再生性，即当Y与Z相互独立，且Y～x2(n)，Z～x2(m)，则Y+Z～x2(n+m)。2021/7/1032.t分布t分布是英国统计学家W.S.Gosset(1908)提出,笔名Student,故又称Student

2、分布.X～N(0,1)，Y～x2(n)，则Z=的分布称为自由度等于n的t分布，记作Z～t(n)，它的分布密度2021/7/104请注意：t分布的分布密度也是偶函数，且当n>30时，t分布与标准正态分布N(0,1)的密度曲线几乎重叠为一。这时，t分布的分布函数值查N(0,1)的分布函数值表便可以得到。3.F分布若X与Y相互独立，且X～x2(n)，Y～x2(m)，则的分布称为第一自由度等于n、第二自由度等于m的F分布，记作Z～F(n,m)，它的分布密度2021/7/105请注意：F分布也是非对称分布，它的分布密度与自由度的次序有关，当Z～F(n,m)时，1/Z～F(m

3、,n)。4.t分布与F分布的关系若X～t(n)，则Y=X2～F(1,n)。2021/7/1065.常用分布的分位数1）分位数的定义分位数或临界值与随机变量的分布函数有关，根据应用的需要，有三种不同的称呼，即α分位数、上侧α分位数与双侧α分位数，它们的定义如下：当随机变量X的分布函数为F(x)，实数α满足0<α<1时，α分位数是使P{Xλ}=1-F(λ)=α的数λ，双侧α分位数是使P{X<λ1}=F(λ1)=0.5α的数λ1、使P{X>λ2}=1-F(λ2)=0.5α的数λ2。2021/7/107因为1-F(

4、λ)=α，F(λ)=1-α，所以上侧α分位数λ就是1-α分位数x1-α；F(λ1)=0.5α，1-F(λ2)=0.5α，所以双侧α分位数λ1就是0.5α分位数x0.5α，双侧α分位数λ2就是1-0.5α分位数x1-0.5α。2）标准正态分布的α分位数记作uα，0.5α分位数记作u0.5α，1-0.5α分位数记作u1-0.5α。2021/7/1082021/7/1093）卡平方分布的α分位数记作x2α(n)。P{X

5、7/10115）F分布的α分位数记作Fα(n,m)Fα(n,m)>0，当X～F(n,m)时，P{X