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时间:2018-10-01
《2013高考数学 解题方法攻略 定点定线定值 理》由会员上传分享,免费在线阅读,更多相关内容在应用文档-天天文库。
1、高中理科数学解题方法篇(定点定线定值)1.已知椭圆的中心在坐标原点,焦点在轴上,椭圆上的点到焦点距离的最大值为,最小值为.(Ⅰ)求椭圆的标准方程;(Ⅱ)若直线与椭圆相交于,两点(不是左右顶点),且以为直径的圆过椭圆的右顶点,求证:直线过定点,并求出该定点的坐标.【标准答案】(I)由题意设椭圆的标准方程为,(II)设,由得,,.以AB为直径的圆过椭圆的右顶点,,(最好是用向量点乘来),,,解得,且满足.当时,,直线过定点与已知矛盾;当时,,直线过定点综上可知,直线过定点,定点坐标为-21-2.已知椭圆过点,且离心率。(Ⅰ)求椭圆方程;(Ⅱ
2、)若直线与椭圆交于不同的两点、,且线段的垂直平分线过定点,求的取值范围。解:(Ⅰ)离心率,,即(1);又椭圆过点,则,(1)式代入上式,解得,,椭圆方程为。(Ⅱ)设,弦MN的中点A由得:,直线与椭圆交于不同的两点,,即………………(1)由韦达定理得:,则,直线AG的斜率为:,由直线AG和直线MN垂直可得:,即-21-,代入(1)式,可得,即,则。3.过抛物线(>0)上一定点>0),作两条直线分别交抛物线于,,求证:与的斜率存在且倾斜角互补时,直线的斜率为非零常数.【解析】设直线的斜率为,直线的斜率为.由相减得,故同理可得,由倾斜角互补知
3、:∴∴由相减得,∴∴直线的斜率为非零常数.题型:动弦过定点的问题例题5、(07山东理)已知椭圆C的中心在坐标原点,焦点在x轴上,椭圆C上的点到焦点距离的最大值为3;最小值为1;(Ⅰ)求椭圆C的标准方程;(Ⅱ)若直线与椭圆C相交于A,B两点(A,B不是左右顶点),且以AB为直径的圆过椭圆C的右顶点。求证:直线过定点,并求出该定点的坐标。分析:第一问,是待定系数法求椭圆的标准方程;第二问,直线-21-与椭圆C相交于A,B两点,并且椭圆的右顶点和A、B的连线互相垂直,证明直线过定点,就是通过垂直建立k、m的一次函数关系。解(I)由题意设椭圆的
4、标准方程为,(II)设,由得,,(注意:这一步是同类坐标变换)(注意:这一步叫同点纵、横坐标间的变换)以AB为直径的圆过椭圆的右顶点且,,,,,解得,且满足当时,,直线过定点与已知矛盾;当时,,直线过定点综上可知,直线过定点,定点坐标为练习1.直线和抛物线-21-相交于A、B,以AB为直径的圆过抛物线的顶点,证明:直线过定点,并求定点的坐标。分析:以AB为直径的圆过抛物线的顶点O,则OAOB,若设,则,再通过,将条件转化为,再通过直线和抛物线联立,计算判别式后,可以得到,,解出k、m的等式,就可以了。解:设,由得,,(这里消x得到的)则
5、………………(1)由韦达定理,得:,则,以AB为直径的圆过抛物线的顶点O,则OAOB,即,可得,则,即,又,则,且使(1)成立,此时,直线恒过点。名师指点:这个题是课本上的很经典的题,例题5、(07山东理)就是在这个题的基础上,由出题人迁移得到的,解题思维都是一样的,因此只要能在平时,把我们腾飞学校老师讲解的内容理解透,在高考中考取140多分,应该不成问题。本题解决过程中,有一个消元技巧,就是直线和抛物线联立时,要消去一次项,计算量小一些,也运用了同类坐标变换——韦达定理,同点纵、横坐标变换-------直线方程的纵坐标表示横坐标。其实
6、解析几何就这么点知识,你发现了吗?例题6、已知点A、B、C是椭圆E:上的三点,其中点A是椭圆的右顶点,直线BC过椭圆的中心O,且,,如图。(I)求点C的坐标及椭圆E的方程;(II)若椭圆E上存在两点P、Q,使得直线PC与直线QC关于直线-21-对称,求直线PQ的斜率。解:(I),且BC过椭圆的中心O又点C的坐标为。A是椭圆的右顶点,,则椭圆方程为:将点C代入方程,得,椭圆E的方程为(II)直线PC与直线QC关于直线对称,设直线PC的斜率为,则直线QC的斜率为,从而直线PC的方程为:,即,由消y,整理得:是方程的一个根,-21-即同理可得
7、:===则直线PQ的斜率为定值。方法总结:本题第二问中,由“直线PC与直线QC关于直线对称”得两直线的斜率互为相反数,设直线PC的斜率为k,就得直线QC的斜率为-k。利用是方程的根,易得点P的横坐标:,再将其中的k用-k换下来,就得到了点Q的横坐标:,这样计算量就减少了许多,在考场上就节省了大量的时间。接下来,如果分别利用直线PC、QC的方程通过坐标变换法将点P、Q的纵坐标也求出来,计算量会增加许多。直接计算、,就降低了计算量。总之,本题有两处是需要同学们好好想一想,如何解决此类问题,一是过曲线上的点的直线和曲线相交,点的坐标是方程组消
8、元后得到的方程的根;二是利用直线的斜率互为相反数,减少计算量,达到节省时间的目的。-21-练习1、已知椭圆C:的离心率为,且在x轴上的顶点分别为A1(-2,0),A2(2,0)。(I)求椭圆的方程;(II)
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