图论模型的构建

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1、图论模型的构建江苏省苏州中学章维铣一．绪言图论是数学的一个有趣的分支。1736年数学家欧拉（Euler1707—1783）发表了一篇论文，用图的方法解决了著名的七桥问题，是图论建模的经典例子。图论建模是指对一些客观事物进行抽象、化简，并用图来描述事物特征及内在联系的过程，就是抓住问题的本质，把问题抽象为点、边、权的关系。建立图论模型的目的和建立其它的数学模型一样，都是为了简化问题，突出要点，以便更深入地研究问题的本质；它的求解目标可以是最优化问题，也可以是存在性或是构造性问题。许多看似无从入手的问题，通过图论

2、建模，往往能转化为我们熟悉的经典问题。二．图论建模方法要素的选取在建立模型之前，我们首先要对研究对象进行全面的调查，将原型理想化、简单化；然后对原型进行初步的分析，分清其中的各个要素及求解目标，理出它们之间的联系；下一步就是用恰当的模型来描述这些要素及联系。【例1】渡河问题一个人带了一只狼、一只羊和一筐白菜想要过河。河上有一只小船，每次除了人以外，只能带一样东西。另外，如果人不在时狼就会吃掉羊，羊就要吃白菜。问怎样安排渡河，才能做到既把所有东西都带过河，而且在河上往返次数最少？问题的要素有三点：（1）人及他所

3、带的3样东西；（2）人不在时狼就会吃掉羊，羊就要吃白菜，即人在渡河时，一岸上不能同时留下狼和羊或羊和白菜；（3）人每次至多带一样东西渡河，并要保证岸上的安全。问题的求解目标：求河上往返次数最少的渡河方案。对于要素（1），用字母m代表人，w代表狼，s代表羊，v代表白菜。要素（2）、（3）可抽象为开始时设人和其他三样东西在河的左岸，这种情况用集合{mwsv}表示。在过河过程中左岸出现的情况有以下16种：{wmsv}{mws}{mwv}{msv}{wsv}{mw}{ms}{mv}{ws}{wv}{sv}{m}{s}

4、{v}{w}{φ}剔除下述6种可能发生狼吃羊，羊吃白菜的情况：（注意照顾右岸的情况）{wsv}{ws}{sv}{mw}{mv}{m}将剩下的10种情况作为图G的顶点，图G的边是按下述规则来连接的：如果情况A经过一次渡河可以变成情况B，就在情况A与情况B之间连一条边。根据这一规则，构造的图G如下面所示：问题的求解目标就归结为：在图G中找一条连接顶点mwsv与φ，并且包含边数最少的路径。把图的边长设为1，那么渡河问题归结为求顶点mwsv到顶点φ的最短路径问题。【例2】方形柱体堆砌有4个正立方体，它们的6个侧面各着

5、以绿、蓝、红、黄4种颜色之一，如图1-2所示。现在要把这4个正方体堆成一方形柱体，堆成的方形柱体每个侧面4种颜色都有。求解任务：1、这4个正方体能否堆成符合要求的方形柱体？2、若能，找出一种堆砌方法。【方形柱体堆砌问题分析】一个正方体有6个面，所以4个正方体可以堆砌出为数十分可观的不同状态。就是确定了4个正方体依Ⅰ，Ⅱ，Ⅲ，Ⅳ次序从上到下排列，只考虑两两接触面不同，也有6^4=1296种排列，这里还没有考虑4个侧面的不同组合。若考虑到后者，又会衍生出许多各异的形式，先令第Ⅰ个正方体保持不动，Ⅱ，Ⅲ，Ⅳ正方体个

6、有4个侧面，故有4^3=64种状态。因此即使在从上到下按序排列情况下，仍然有1296×64=82944种状态。若用穷举法求这类问题，将是不胜其烦的。为此，我们必须寻找解决问题的更好途径。对符合要求的方形柱体来讲，交换任意两个正方体的上下位置，得到的方形柱体仍是符合要求的，即它的4个侧面都有4种颜色。它的每一对对面由4个正方体各一个对面组成，因此问题的要素是4个正方体各3个对面的颜色的构成，于是从每个对面的着色考虑。用字母b,g,r,y分别表示蓝、绿、红、黄4种颜色，并作为图的4个顶点，4个正方体的各三个对面依

7、各对面的颜色连以边，并分别标以e1、e2、e3、e4，比如第一个正方体有一对面着蓝、黄两色，则从顶点b到y引一条边标以e1,另两对面为红对红、红对绿，故联结r,e和r,g,均标以e1。同样地根据第二、三、四正方体的各对面着色分别连以边并分别标以e2、e3、e4。则得图G，如图1—3所示。【方形柱体堆砌问题分析】e4bygre1e1e1e1e2e2e2e3e3e3e4e4从图中，能找到两个Hamiltion回路，每个回路的4条边分别是e1,e2,e3,e4。(见下页)e4bygre1e1e1e2e2e2e3e3

8、e3e4e42.选择合适的理论体系图由点、边、权三部分组成，根据这三部分的性质的不同，就有着不同的图论模型，有着不同的理论和算法，也就构成了不同的理论体系。图论建模依据的是图论的基本理论和基本算法。例如二分图把整个点集V分为两个子集，规定子集内部的点之间没有边，因此二分图就有着不同于一般图的特殊性质，而它的匹配算法也就比一般图的算法简单；此外还有树、有向无环图等，它们属于不同的理论体系，有着各自不同