2011---2012学年

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1、吴江市高级中学数学教研组2011---2012学年数主题：高考中的圆锥曲线学教研吴江市高级中学数学教研组吴江市高级中学数学教研组吴江市高级中学数学教研组研讨一：2008年江苏高考数学第18题(一)原题呈现本题选自2008年高考数学江苏卷第18题，题目为：在平面直角坐标系中，设二次函数的图像与两坐标轴有三个交点，经过这三个交点的圆记为C．（Ⅰ）求实数b的取值范围；（Ⅱ）求圆C的方程；（Ⅲ）问圆C是否经过某定点（其坐标与无关）？请证明你的结论．（二）题意本题知识点:以二次函数的图像与性质为背景，主要考查圆的方程的求法及圆过定点问题。本题的已知条件:初中二次函数与圆的知识点在高中的

2、延续,在二次函数问题上，用“图像与两坐标轴有三个交点”的条件，回避了“一元二次方程有两个相等实根与一个根”的问题的争议，从二次函数的本质出发设题。本题的结论：问（Ⅰ）是由条件求二次函数中参数b的取值范围;问（Ⅱ）由条件求圆C的方程;问（Ⅲ）是探究该圆是否过定点及证明结论。本题的难点:问（Ⅰ）的难点是排除二次函数图像过原点时的特殊位置；问（Ⅱ）的难点是求圆的方程的设法选择及参数b对计算的影响；问（Ⅲ）的难点是圆过定点问题的解题策略的选择。（三）解法解：（Ⅰ）令，得抛物线与轴交点是（0，b）；令，由题意“图像与两坐标轴有三个交点”，所以图像一定不经过原点，则b≠0且Δ＞0，解得b

3、＜1且b≠0．（Ⅱ）由方程得，所以二次函数图像与坐标轴的交点为，设所求圆的一般方程为所以将这三点代入得-21-吴江市高级中学数学教研组因，解得，所以圆C的方程为。思想方法总结：运用“不在同一条直线上的三点可确定一个圆”这一简单结论，选用圆的一般方程求解。（Ⅲ），因为该方程对都成立，所以，所以，所以圆C必过定点（0，1）和（－2，1）．证明如下：将（0，1）代入圆C的方程，得左边＝0＋1＋2×0－（b＋1）＋b＝0，右边＝0，所以圆C必过定点（0，1）．同理可证圆C必过定点（－2，1）．思想方法总结：运用“方程恒成立”问题的求解方法，通过分离变量转化为解方程组问题，即求直线的交

4、点。（四）优解问（Ⅱ）求圆的方程的解的优化：法1：由于二次函数的对称轴为，所以圆心在直线上，所以，圆的一般方程中，。法2：令得这与是同一个方程，故.-21-吴江市高级中学数学教研组令得，此方程有一个根为，代入得出．所以圆C的方程为.（五）溯源题1：苏教版必修2教材《圆与方程》中2.2.1例3：已知为，外接圆的方程。题2：平面解析几何初步第二章复习题第19题：求证：无论取任何实数，直线必经过一个定点。并求出定点的坐标。（六）类题（2011年全国新课标卷20）在平面直角坐标系中，曲线与坐标轴的交点都在圆C上，（Ⅰ）求圆C的方程；（Ⅱ）略思想方法总结：该题的问（Ⅰ）以具体的二次函数

5、为背景，题设条件是08年江苏18题的具体化，解题方法相同，问题简单化。（七）拓展题1：（2009年江苏卷18）在平面直角坐标系中，已知圆和圆.（1）略（2）设P为平面上的点，满足：存在过点P的无穷多对互相垂直的直线和，它们分别与圆和圆相交，且直线被圆截得的弦长与直线被圆截得的弦长相等，试求所有满足条件的点P的坐标。解析：问(2)设点P坐标为，直线、的方程分别为：w.w.w.k.s.5.u.c.o.m，即因为直线被圆截得的弦长与直线被圆截得的弦长相等，两圆半径相等。由垂径定理，得：圆心到直线与直线的距离相等。-21-吴江市高级中学数学教研组故有：，化简得：关于的方程有无穷多解，

6、有：w.w.w.k.s.5.u.c.o.m解之得：点P坐标为或。思想方法总结：化简后所得方程为，关于的方程有无穷多解，则为方程恒成立问题。题2：（2010四川理数20）已知定点A(－1，0)，F(2，0)，定直线l：x＝，不在x轴上的动点P与点F的距离是它到直线l的距离的2倍.设点P的轨迹为E，过点F的直线交E于B、C两点，直线AB、AC分别交l于点M、N.（Ⅰ）求E的方程；（x2－=1(y≠0)）（Ⅱ）试判断以线段MN为直径的圆是否过点F，并说明理由.本小题主要考察直线、轨迹方程、双曲线等基础知识解：(2)①当直线BC与x轴不垂直时，设BC的方程为y＝k(x－2)(k≠0)

7、与双曲线x2－=1联立消去y得(3－k)2x2＋4k2x－(4k2＋3)＝0，由题意知3－k2≠0且△＞0设B(x1,y1),C(x2,y2)，则y1y2＝k2(x1－2)(x2－2)＝k2[x1x2－2(x1＋x2)＋4]＝k2(＋4)＝因为x1、x2≠－1，所以直线AB的方程为y＝(x＋1)因此M点的坐标为()-21-吴江市高级中学数学教研组,同理可得因此＝＝0②当直线BC与x轴垂直时，起方程为x＝2，则B(2,3),C(2,－3)AB的方程为y＝x＋1,因此M点的坐标为()，同理可得因此综上，即F