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1、线线角与线面角习题一、复习目标1.理解异面直线所成角的概念,并掌握求异面直线所成角的常用方法．2.理解直线与平面所成角的概念，并掌握求线面角常用方法．3.掌握求角的计算题步骤是“一作、二证、三计算”,思想方法是将空间图形转化为平面图形即“降维”的思想方法.二、课前预习1.在空间四边形ABCD中，AD=BC=2,E、F分别为AB、CD的中点且EF=，AD、BC所成的角为.2.如图,在长方体ABCD-A1B1C1D1中，B1C和C1D与底面所成的角分别为60ο和45ο，则异面直线B1C和C1D所成角的余弦值为()(A).(B).(C).(
2、D).3.平面与直线所成的角为,则直线与平面内所有直线所成的角的取值范围是．4.如图,ABCD是正方形,PD⊥平面ABCD,PD=AD,则PA与BD所成的角的度数为(A).30ο(B).45ο(C).60ο(D).90ο5.有一个三角尺ABC,∠A=30ο,∠C=90ο,BC是贴于桌面上,当三角尺与桌面成45ο角时,AB边与桌面所成角的正弦值是．三、典型例题例1.(96·全国)如图,正方形ABCD所在平面与正方形ABEF所在平面成60ο角,求异面直线AD与BF所成角的余弦值.备课说明:1.求异面直线所成的角常作出所成角的平面图形.作法
3、有:①平移法:在异面直线的一条上选择“特殊点”,作另一条直线平行线或利用中位线.②补形法:把空间图形补成熟悉的几何体,其目的在于容易发现两条异面直线的关系.2.解立几计算题要先作出所求的角,并要有严格的推理论证过程,还要有合理的步骤.例2.如图在正方体AC1中,(1)求BC1与平面ACC1A1所成的角;(2)求A1B1与平面A1C1B所成的角.备课说明:求直线与平面所成角的关键是找直线在此平面上的射影,为此必须在这条直线上找一点作平面的垂线.作垂线的方法常采用:①利用平面垂直的性质找平面的垂线.②点的射影在面内的特殊位置.例3.已知直
4、三棱住ABC-A1B1C1,AB=AC,F为棱BB1上一点,BF∶FB1=2∶1,BF=BC=.(1)若D为BC的中点,E为线段AD上不同于A、D的任意一点,证明：EF⊥FC1;(2)试问:若AB=,在线段AD上的E点能否使EF与平面BB1C1C成60ο角,为什么?证明你的结论.备课说明:这是一道探索性命题,也是近年高考热点问题,解决这类问题,常假设命题成立,再研究是否与已知条件矛盾,从而判断命题是否成立.四、反馈练习1设集合A、B、C分别表示异面直线所成的角、平面的斜线与平面所成的角、直线与平面所成的角的取值范围,则(A)A=B=C
5、(B)A=BC(C)ABC(D)BAC.2两条直线,与平面所成的角相等,则直线,的位置关系是(A)平行(B)相交(C)异面(D)以上均有可能.3设棱长为1的正方体ABCD-A1B1C1D1中，M、N分别为AA1和BB1的中点，则直线CM和D1N所成角的正弦值为.4已知、是一对异面直线，且、成60o角，则在过空间任意点P的所有直线中，与、均成60o角的直线有条.5异面直线、互相垂直，与成30o角，则与所成角的范围是.6∠ACB=90ο在平面内,PC与CA、CB所成的角∠PCA=∠PCB=60o,则PC与平面所成的角为.7设线段AB=,A
6、B在平面内,CA⊥,BD与成30ο角,BD⊥AB,C、D在同侧,CA=BD=.求:(1)CD的长;(2)CD与平面所成角正弦值.课前预习1.60ο2.A3.[,]4.C5.典型例题例1解:∵CB∥AD∴∠CBF为异面直线AD与BF所成的角.连接CF、CE设正方形ABCD的边长为,则BF=∵CB⊥AB,EB⊥AB∴∠CEB为平面ABCD与平面ABEF所成的角∴∠CBE=∠60ο∴CE=FC=∴cos∠CBF=例2解:(1)设所求的角为,先证BD⊥平面ACC1A1,则sin=sin∠OC1B==.故=30o.(2)△A1BC1是正三角形,
7、且A1B1=B1C1=BB1.∴棱锥B1-A1BC1是正三棱锥.过B1作B1H⊥平面A1BC1,连A1H,∠B1A1H是直线A1B1与平面A1C1B所成的角.设A1B1=则A1B=得A1H=.故cos∠B1A1H==.所求角为例3解:(1)连接OF,容易证明AD⊥面BB1C1C,DF是EF在面B1C1CB的射影,且DF⊥FC1,∴FC1⊥EF.(2)∵AD⊥面BB1C1C,∠EFD是EF与平面BB1C1C所成的角.在△EDF中,若∠EFD=60ο,则ED=DF·tan60ο=·=,∵AB=BC=AC=2,∴AD=.∵>.∴E在DA的延
8、长线上,而不在线段AD上;故线段AD上的E点不可能使EF与平面BB1C1C成60ο角.反馈练习1.D2.D3.4.35.[60ο,90ο]6.45ο7.解:(1)作DD＇⊥于D＇,连接AD＇,BD＇.CA⊥,∴CA∥DD
