2003高教社杯全国大学生数学建模竞赛大专组

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1、D题（抢渡长江）参考答案2003高教社杯全国大学生数学建模竞赛（大专组）D题（抢渡长江）参考答案注意：以下答案是命题人给出的，仅供参考。各评阅组应根据对题目的理解及学生的解答，自主地进行评阅。yxL0Hquv图1设竞渡在平面区域进行,且参赛者可看成质点沿游泳路线(x(t),y(t))以速度前进，其中游速大小u不变。要求参赛者在流速给定的情况下控制q(t)找到适当的路线以最短的时间T从起点(0,0)游到终点(L,H)，如图1。这是一个最优控制问题:可以证明，若q(t)为连续函数,则q(t)等于常数时上述问题有最优解。证明见:GeorgeLeitmann,TheCalc

2、ulusofVariationsandOptimalControl,PlenumPress,1981.pp.130–135,p.263,Exercise15.13.（注：根据题意，该内容不要求同学知道。）1.设游泳者的速度大小和方向均不随时间变化，即令，而流速，其中u和v为常数,q为游泳者和x轴正向间的夹角。于是游泳者的路线(x(t),y(t))满足（1）T是到达终点的时刻。令，如果(1)有解,则（2）即游泳者的路径一定是连接起、终点的直线，且（3）若已知L,H,v,T,由（3）可得第5页，共5页D题（抢渡长江）参考答案（4）由（3）消去T得到（5）给定L,H,u,

3、v的值，z满足二次方程（6）（6）的解为（7）方程有实根的条件为（8）为使（3）表示的T最小，由于当L,u,v给定时,，所以(7)中z取较大的根,即取正号。将（7）的z1代入（3）即得T，或可用已知量表为（9）以H=1160m,L=1000m,v=1.89m/s和第一名成绩T=848s代入（4），得z=-0.641,即q=117.50，u=1.54m/s。以H=1160m,L=1000m,v=1.89m/s和u=1.5m/s代入（7），（3），得z=-0.527,即q=1220，T=910s，即15分10秒。2.游泳者始终以和岸边垂直的方向（y轴正向）游,即z=0,

4、由（3）得T=L/v≈529s,u=H/T≈2.19m/s。游泳者速度不可能这么快，因此永远游不到终点,被冲到终点的下游去了。注：男子1500米自由泳世界记录为14分41秒66,其平均速度为1.7m/s。式（8）给出了能够成功到达终点的选手的速度，对于2002年的数据，H=1160m,L=1000m,v=1.89m/s，需要u>1.43m/s。L1CDBq2q1H3H1uuAq3uL2H2v2v1v3图2L1假设1934年竞渡的直线距离为5000m,垂直距离仍为H=1160m,则L=4864m,仍设v=1.89m/s，则游泳者的速度只要满足u>0.44m/s，就可以

5、选到合适的角度游到终点.。(游5000米很多人可以做到)3.如图2，H分为H=H1+H2+H33段，H1=H3=200m,H2=760m,v1=v3=1.47m/s，v2=2.11m/s,游泳者的速度仍为常数u=1.5m/s,有v1，v3u,相应的游泳方向q1，q2为常数。路线为ABCD,AB平行CD。L分为L=L1+L2+L3,L1=L3,据（8），对于v2第5页，共5页D题（抢渡长江）参考答案>u,L2应满足（10）因为v1

6、=L3=(L-L2)/2，由(9)知所需要的总时间为（11）求L2使T最小。编程计算可得：L2=806.33m时T=904.02s≈15分4秒。将得到的L2=806m，L1==L3=97m代入（7）可得q1=1260，q2=1180，即最佳的方向。也可以用枚举法作近似计算：将L2从760m到1000m每20m一段划分，相应的L1，L3从120m到0m每10m一段划分。编程计算得下表，其中q1,q3,q2和T1,T3,T2分别为3段中游泳的方向和时间，而T=T1+T2+T3为总的时间。L1,L3(m)T1,T3(s)q1,q3(0)L2(m)T2(s)q2(0)T(s

7、)0670.03168.521000.00509.0795.571849.1210.00525.87165.31980.00510.8597.341562.5920.00419.90161.49960.00513.2699.191353.0630.00344.10157.20940.00516.39101.131204.5940.00290.02152.63920.00520.38103.181100.4150.00250.95147.91900.00525.41105.351027.3060.00222.22143.13880.00531.72107.6697