04 对称美与物理学

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1、对称美与物理学一、生活中的对称与不对称人类在长期的保存个体、繁衍种族这种极为低下的生产水平和生活水平的斗争中不断发展；随着生产水平和生活水平不断提高，逐渐发展起对美和美感的追求，并逐渐开始去思考美和探索美，对称性就是人类对美的思考和探索之一．　　人们在自己的实践中相继发现了一些能引起自己欢快愉悦感受的因素，把它们称作具有对称性，即具有对称性的形体是美的．例如花朵，一朵有5个花瓣的花绕它的轴旋转一周，有5个位置看上去是完全一样的，它给人以匀称的感受；一个圆形则旋转任意的角度保持形状不变，它具有更大的旋转对称性．又例如人体或一些动物的形

2、体一边与另一边完全相同，可以折叠重合，它具有左右对称性，给人以匀称和均衡的感觉．再例如竹节或串珠，平行移动一定的间隔，图形完全重复，它具有平移对称性，给人以连贯、流畅的感受．久而久之，这些对称性的感受逐渐成为一项美学准则，广泛应用于建筑、造型艺术、绘画以及工艺美术的装饰之中．你可以从许多中外著名的建筑、艺术珍品中看到，天坛的建筑、天安门的建筑、颐和园长廊的建筑以及各种花瓶、古人饮酒的爵和各种花边等等是旋转对称、左右对称和平移对称的典型例子．这些对称美给人以匀称、均衡、连贯、流畅的感受，因而体现着一种娴静、稳重、庄严，但却也显得有些平

3、淡、单调、缺乏生机和妙趣横生，这是因为对称性并没有包揽美的全部．人们发现，美除了对称之外，还需要蜿蜒曲折、错落有致、此起彼伏，美是对称与不对称结合的表现．你看那起伏于山峦间蜿蜒曲折层层叠起的长城峰火台构成的美景不是给人以宏伟、博大、气势磅礴而又峰回路转、巧夺天工的美的感觉吗！美更是现代人的追求，美吸引着各行各业的人去创造美好的人生，享受美好的生活．二、物理学中的形体对称性　　物理学的研究中也注意到形体上的对称性．形体上的对称性常常使得我们可以不必精确地去求解就可以获得一些知识，使问题得以简化，甚至使得某些颇难解的问题迎刃而解．例如一

4、个无阻力的单摆摆动起来，其左右是对称的，不必求解就可以知道，向左边摆动的高度与右边摆动的高度一定是相等的，从中间平衡位置向左摆到最高点的时间一定等于从中间平衡位置向右摆到最高点的时间，平衡位置两边等高位置处摆球的速度和加速度的大小必定是相等的，等等．再例如一张无限大平面方格子的导体网络，方格子每一边的电阻是r，在这张方格子网络的中间相邻格点连出两条导线，问这两条导线之间的等效电阻是多少？这个问题看上去似乎很难求解，它涉及到无穷多个回路和无穷多个节点，要用直流电路中普遍的基尔霍夫方程组将得到无穷多个方程，难以求解．然而这一无穷的方格子

5、网络具有形体上的对称性，利用对称性分析，求解变得相当简单．设想用一根导线连接到一个格点，通以电流I，电流从网络的边缘流出，由于从该格点向四边流过的电流具有对称性，因此流过与该已知点连接的每一边的电流必定是．再设想电流I从网络的边缘流入，再从网络中心的一个格点上连接的一条导线上流出，根据同样的对称性分析，流过与该格点连接的每一边的电流也必定是．我们要求解的情形正是这两种情形的叠加，电流I从连接到一个格点的导线流入，从连到相邻格点的导线流出，而在网络边缘，两种情形流出和流入的电流相互抵消，结果在连接导线的两相邻格点之间的那条边上通过的电

6、流是上述两种情形的叠加，即为，这条边的电阻是r，这意味剩下的电流通过其他边，它相应的电阻应是r，换句话说，从相邻格点来看，这一无穷方格子网络的等效电阻是两个阻值为r的并联，其等效电阻为．由此可以看出，对称性分析在物理学中非常有用，一旦明确了具有对称性，问题常常变得简单可解．　　在物理学中，还利用形体上的对称性来研究晶体的分类等物理问题，并取得了丰硕的成果．三、物理规律的对称性　　对称性的概念是否能进一步拓宽呢？在这里，我们需要把对称性概念更加精确化．我们把事物由一种情况变化到另一种情况叫做变换（操作）．如果一个变换使事物的情况没有变

7、化，或者说事物的情况在此变换下保持不变，我们就说这个事物对于这一变换是对称的，这个变换称为事物的对称变换．在前面举的形体对称性的例子中，旋转就是一种变换操作，一个有5个相同花瓣的花朵（如香港特区区旗上的紫荆花）绕垂直花面的轴旋转或整数倍角度，完全是一样的，没有什么变化，我们就说它具有旋转对称性．一个圆形则旋转任意角度保持形状不变，它具有更大的旋转对称性．相反地，一个圆形边缘上有一个点或有些残缺，这个点或残缺就能区分旋转前后的情况，我们就说它不具有旋转对称性或旋转对称性是破缺的．从左到右或从右到左的变换称为镜向变换，人体和动物形体具有

8、镜向变换不变性，而竹节或串珠则具有空间平移不变性．某一对称性，即某一变换下的不变性，粗浅而形象地看，就是换一角度或换一场合来观察事物保持不变．在旋转对称性中，就是换一方向来观察；在镜向对称性中，是换到镜子里来观察；在空间平移对称性中，