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《求下列函数在所指定区域d内平均值》由会员上传分享，免费在线阅读，更多相关内容在工程资料-天天文库。
1、1.求下列函数在所指定区域D内的平均值：（1）（2）分析：二元函数在指定区域D内的平均值是三元函数在指定区域D内的平均值是解：（1）（2）令则于是===2．计算下列积分：（1）（2）分析：将区域D分成4个部分，确定函数[x＋y]在每个小区域的值，如图解（1）积分区域D分成四个区域，，，，分别在它上取值0，1，2，3.于是(2)被积函数)=.其中，，如图21-26,于是的面积为由于的面积与的面积相同,的面积为圆面积去掉和的面积,所以=3.应用格林公式计算曲线积分:其中L为上半圆周从(a,0)到的一段.分析：补充直线段BA：从B到A(a,0)的一段使L与直线段BA构成封闭曲线，应用格林公式。解
2、：以为半径的上半圆域D,应用格林公式有=+0=而3.求,其中为连续函数.分析：利用积分中值定理在内至少存在一点.使解：由积分中值定理知:在内至少存在一点.使因此4.求,设(1)(2),其中为可微函数;(3),其中为可微函数.解：令,则,5.设,求解：3.证明其中分析：：作变换则，且．证明：在中,令,则V转化为，，故==8．试写出单位正方体为积分区域时，柱面坐标系和球面坐标系下的三重积分的上下限.分析：：设单位正方形如图所示．即积分区域为柱坐标变换，则，且由，得，其中，，解：(1)在柱面坐标系下,由的意义知.+(2)在球面坐标系下,,由的意义知:+++其中9.设函数和在上可积,则分析：见第9
3、章总练习题6，在此用二重积分性质证明证：因为=-+=-+=2{-}因此10.设在上连续，且恒取正值，试求.分析：利用解:设,分别为在上的最小值与最大值，则.从而,积分得()令得11．求由椭圆所界的面积，其中。解：作坐标变换，则.令,则,故椭圆所界面积12.设,求由平面,所界平行六面体的体积.解:令,则,.从而所求平行六面体的体积.13.设有一质量分布不均匀的半圆弧,(),其线密度为(为常数),求它对原点处质量为的质点的引力.解:因,,(为引力常数),故且.14.求螺旋线,,()对轴的转动惯量,设曲线的密度为解:由于螺旋线L上任意一点与轴的距离为,,故=15.求摆线的重心,设其质量分布是均匀
4、的.解：因为所以===16.设是具有二阶连续偏导数的函数,证明:(1)(2)其中D为光滑曲线L所围的平面区域,而其中沿曲线L的外法线n的方向导数.分析：利用格林公式与曲线积分的关系来证明证明：(1)======故原式成立.(2)参照(1)同理可以得出==再由(1)即得所证.17.求指数,使得曲线积分与路径无关并求.解：因,,则令,则有=,从而,即故此时
