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1、旋转曲面的参数方程---------利用正交变换作旋转众所周知，坐标面上的曲线绕轴旋转而成的旋转曲面的方程为（1）（见同济大学《高等数学》（5版上册），313页）。如果以上曲线的方程能写成显函数（），则该旋转曲面的方程为或（2）这个方程的几何意义是：对曲线上的每一点，这个方程给出圆心在，半径为的一个垂直于轴的圆。当取遍中的每一个值时，这些圆就构成一个旋转曲面。如果曲线的方程是显函数（），我们也可以用参数方程来表示这个旋转面：（，）（3）这个方程的几何意义是：对每一个，参数方程给出一个半径为的垂直于轴的圆。当取遍中的每一个值时，这些圆就构成一个旋转曲面。如果曲线的方程能写成参数方程（），则旋转曲
2、面的参数方程为：（，）（4）这个方程的几何意义是：对每一个，参数方程给出一个半径为的垂直于轴的圆。当取遍中的每一个值时，这些圆就构成一个旋转曲面。推而广之，如果该曲线是空间曲线，其参数方程为（），则此曲线绕轴旋转而成的旋转曲面的参数方程为：（，）（5）这个方程的几何意义是：对每一个，参数方程给出一个半径为的垂直于轴的圆。当取遍中的每一个值时，这些圆就构成一个旋转曲面。（见同济大学《高等数学》（5版上册），322页））。例1坐标面上的圆 （）绕轴旋转而成的旋转曲面为一圆环面。为了得到圆环面的参数方程，先将圆用参数方程表示为（），再用方程（4）得到圆环面的参数方程：（，）如图1（取）。图1圆环面绘
3、制图1的Mathematica程序：a=1;b=3;xx[t_]:=0;yy[t_]:=b+aCos[t];zz[t_]:=aSin[t];r[t_]:=Abs[yy[t]];x[t_,theta_]:=r[t]Cos[theta];y[t_,theta_]:=r[t]Sin[theta];z[t_,theta_]:=zz[t];Quxian=ParametricPlot3D[{xx[t],yy[t],zz[t]},{t,0,2Pi},PlotStyle->{Red,Thickness[0.02]}];Qumian=ParametricPlot3D[{x[t,theta],y[t,theta]
4、,z[t,theta]},{t,0,2Pi},{theta,0,2Pi},PlotPoints->40];X=ParametricPlot3D[{x,0,0},{x,-5,5},PlotStyle->AbsoluteThickness[3]];Y=ParametricPlot3D[{0,y,0},{y,-5,5},PlotStyle->AbsoluteThickness[3]];Z=ParametricPlot3D[{0,0,z},{z,-2,2},PlotStyle->AbsoluteThickness[3]];XYZ=Show[X,Y,Z];Show[Qumian,Quxian,XYZ,P
5、lotRange->{{-5,5},{-5,5},{-3,3}},Boxed->False,Axes->False,ViewPoint->{5,4,3}]例2空间直线 （）绕轴旋转而成的旋转曲面为一单叶双曲面。用方程（5）得到单叶双曲面的参数方程：（，）（见同济大学《高等数学》（5版上册），322页））。如图2图2单叶双曲面绘制图2的Mathematica程序：xx[t_]:=1;yy[t_]:=t;zz[t_]:=2t;r[t_]:=Sqrt[xx[t]^2+yy[t]^2];x[t_,theta_]:=r[t]Cos[theta];y[t_,theta_]:=r[t]Sin[theta];
6、z[t_,theta_]:=zz[t];Quxian=ParametricPlot3D[{xx[t],yy[t],zz[t]},{t,-1.2,1.2},PlotStyle->{Red,Thickness[0.02]}];Qumian=ParametricPlot3D[{x[t,theta],y[t,theta],z[t,theta]},{t,-1,1},{theta,0,2Pi},PlotPoints->40];X=ParametricPlot3D[{x,0,0},{x,-2,2},PlotStyle->AbsoluteThickness[3]];Y=ParametricPlot3D[{0,
7、y,0},{y,-2,2},PlotStyle->AbsoluteThickness[3]];Z=ParametricPlot3D[{0,0,z},{z,-2,2},PlotStyle->AbsoluteThickness[3]];XYZ=Show[X,Y,Z];Show[Qumian,Quxian,XYZ,PlotRange->{{-2,2},{-2,2},{-3,3}},Boxed->Fals
