抽象代数基础_课后答案(唐忠明_著)_高等教育出版社[1]

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1、抽象代数基础_课后答案(唐忠明_著)_高等教育出版社[1]《抽象代数基础》习题解答答答答答解解解解题题题题习习习习于延栋编盐城师范学院数学科学学院二零零九年五月第一章群论§1代数运算1.设A={e,a,b,c},A上的乘法“.”的乘法表如下:·····eabc证明:“.”适合结合律.eabceabcaecbbceacbae证明设x,y,z为A中任意三个元素.为了证明“.”适合结合律,只需证明(x.y).z=x.(y.z).下面分两种情形来阐明上式成立.I.x,y,z中至少有一个等于e.当x=e时,(x.y).z=y.z=x.(y.z);当

2、y=e时,(x.y).z=x.z=x.(y.z);当z=e时,(x.y).z=x.y=x.(y.z).II.x,y,z都不等于e.(I)x=y=z.这时,(x.y).z=e.z=z=x=x.e=x.(y.z).(II)x,y,z两两不等.这时,(x.y).z=z.z=e=x.x=x.(y.z).(III)x,y,z中有且仅有两个相等.当x=y时,x和z是{a,b,c}中的两个不同元素,令u表示{a,b,c}中其余的那个元素.于是,(x.y).z=e.z=z,x.(y.z)=x.u=z,从而,(x.y).z=x.(y.z).同理可知,当y=

3、z或z=x时,都有(x.y).z=x.(y.z).2.设“.”是集合A上一个适合结合律的代数运算.对于A中元素,归纳定义Π(n)ai为:i=11r+1rΠai=a1,Πai=....Πai.....ar+1.i=1i=1.i=1.证明:.......Π(n)a......Π(m)a..=Π(n)(m)(+)a..==+=...kkjjnii111进而证明:在不改变元素顺序的前提下,A中元素的乘积与所加括号无关.证明当m=1时,根据定义,对于任意的正整数n,等式成立.假设当m=r(r≥1)时,对于任意的正整数n,等式成立.当m=r+1时,由

4、于“.”适合结合律,我们有...........Π(n)a.....Π(m)a..=...Π(n)a.....Π(r)(1)(+)a.....j=+=jnii11....j=+=11jnii.....=....ai.......an+j...an+r+1..i=1...j=1.........nr.=aa....∏i......Πan+j....n+r+1..i=1..j=1..++1.=....Π(n)(r)(+)ai.....an+r+1=Π(n)(r)ak=Π(n)(m)(+)ak.i=1.k=1k=1所以,对于任意的正整数n和m,

5、等式成立.考察A中任意n(n≥1)个元素a1,a2,.,an:当n≥3时,要使记号a1.a2...an变成有意义的记号,必需在其中添加一些括号规定运算次序.现在我们来阐明:在不改变元素顺序的前提下,无论怎样在其中添加括号,运算结果总是n等于Πai.i=1事实上,当n=1或n=2时,无需加括号,我们的结论自然成立.当n=3时,由于“.”适合结合律,我们的结论成立.假设当n≤r(r≥1)时我们的结论成立.考察n=r+1的情形:不妨设最后一次运算是a.b,其中a为a1,a2,.,an中前s(1≤s

6、中后n.s个元素的运算结果.于是,根据归纳假设,a=Π(s)aj,b=Π(n)(s)(.)ask.+j=1k=1所以最终的运算结果为a.b=...Π(s)a........Π(n)(s)(.)a....=Π(n)a..==+=...iikksjj1113.设Q是有理数集.对于任意的a,b∈Q,令a.b=a+b2,证明:“.”是Q上的一个代数运算,它既不适合结合律也不适合交换律.证明众所周知,对于任意的a,b∈Q,a.b=a+b2∈Q.所以“.”是Q上的一个代数运算.令a=0,b=1,c=2.由于(a.b).c=(0.1).2=1.2=1+

7、22=5,a.(b.c)=0.(1.2)=0.5=0+52=25,从而,(a.b).c≠a.(b.c),所以“.”不适合结合律.由于b.c=1.2=1+22=5,c.b=2.1=2+12=3,.从而,b.c≠c.b.所以“.”不适合交换律..1.证明:G=......cadb........§2群的概念.a,b,c,d∈Z..关于矩阵的加法构成一个群...证明首先,众所周知,G≠.,A+B∈G,.A,B∈G.由于矩阵的加法适合结合律,G上的加法适合结合律.其次,令O=....00....,则O∈G,并且00..O+A=A+O=A,.A∈G

8、.最后,对于任意的A=....cadb....∈G,令.A=......ca..db....,....则.A∈G且A+(.A)=(.A)+A.O.所以G关于矩阵的加法构成一个群.2.令G=..