中外著名大学《经典力学》教材中有关“正则变换”论述的区

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1、中外著名大学《经典力学》教材中有关“正则变换”论述的区别与思考张立彬1，张毅1，王娟萍1，沈科济2（1.南开大学外国教材中心，天津，300071；2.南开大学物理科学学院，天津，300071）内容摘要：20世纪物理学飞速发展，人们从“经典”物理步入近代物理，但经典力学的地位却丝毫没有减弱.本文对四本国内外著名经典力学教材进行了介绍，对正则变换与哈密顿-雅可比方程这一方法进行了突出讲解和展开分析，讨论了不同教材的讲解思路和教学讨论深广度的区别及特色，从而明确了国内外教材某些知识点的优势和侧重点.关键词：国内外经典教材；经典力学；正则

2、变换；哈密顿-雅可比方程20世纪物理学飞速发展，人们从“经典”物理步入近代物理，但是经典力学（理论力学）在整个物理学中的地位却丝毫没有减少。在国内外，经典力学仍然是本科生至关重要的学科，国内许多学校都将经典力学作为学生的学位课，其要求都要高于其他学科。经典力学课程需要学生具备一定的数学分析、微分方程、线性代数等数学基础，这样才能够理解教材中建立在缜密物理逻辑基础上的精确数学描写。[1]尽管经典理论在近代物理中，退出了主导地位，但是作为一门工具学科，它的重要性不言而喻。哈密顿-雅可比方程是经典力学的一种表述。哈密顿-雅可比方程、牛顿

3、力学、拉格朗日力学、哈密顿力学，这几个表述是互相全等的。而哈密顿-雅可比方程在辨明保守的物理量方面，特别有用处。有时候，虽然物理问题的本身无法完全解析，哈密顿-雅可比方程仍旧能够正确的辨明保守的物理量。哈密顿-雅可比方程是经典哈密顿量一个正则变换，经过该变换得到的结果是一个一阶非线性偏微分方程，其解答描述了系统的行为。与哈密顿运动方程的不同之处在于哈密顿-雅可比方程是一个偏微分方程，每个变量对应于一个坐标，而哈密顿方程是一个一阶线性方程组，每两个方程对应于一个坐标，哈密顿-雅可比方程可以漂亮地解析一些重要问题，例如开普勒问题。在近

4、代物理中，许多物理学家用哈密顿-雅可比方程来分析一些问题。[2]哈密顿-雅可比方程是唯一能够将粒子运动表达为波动的一种力学表述。因此，哈密顿-雅可比方程满足了一个长久以来理论物理的研究目标：寻找波的传播与粒子运动的相似之处。经典力学系统的波动方程与量子力学中的薛定谔方程很相似。哈密顿-雅可比方程被认为是从经典力学进入量子力学最近的门洞。[3]收稿日期：修回日期：基金项目：教育部2012年研究项目《比较中外著名大学“四大力学”本科课程与主流教材，探索物理学国际化创新人才培养模式》（2012-28）资助.icb.site194icb.

5、pagecontent694939LjCp9JQfSno=PVT作者简介：张立彬（1964—），男，河北石家庄人，教育部南开大学外国教材中心副教授，主要从事中外高等教育教材评介与比较研究工作.71国内外各教材关于“正则变换”知识点的讲解思路在哈密顿力学中，广义坐标和广义动量处于同等地位，因而不必限于点变换，完全可以考虑更广义的变换：我们要求变换后的动力学方程仍然是哈密顿正则方程，满足这一要求的变换叫做正则变换。哈密顿-雅可比方程是一阶偏微分方程，其形式为其中H是哈密顿量，S称为哈密顿主函数，,是广义坐标，是积分常数，t为时间。若能

6、找到哈密顿函数S的形式，就可以计算出广义坐标与广义动量随时间的演变。这样，我们就可以完全的解析物理系统随时间的演化。1.1朗道：《力学》第五版该书对该内容的讨论主要在“第七章正则方程”，主要包含以下章节：40哈密顿方程，41罗斯函数，42泊松括号，43作为坐标函数的作用量，44莫培督原理，45正则变换，46刘维尔定理，47哈密顿一雅可比方程，48分离变量，49绝热不变量，50正则变量，51绝热不变量守恒精确性，52条件周期运动[4]。作者首先在第43节中引入了作用量作为坐标和时间函数的概念，并证明，这个函数S（q，t）对时间的偏导

7、数与哈密顿函数的关系式为：.而对坐标的偏导数就是广义动量。在哈密顿函数中将相应广义动量用代替，于是便得出了哈密顿-雅可比方程。然后该书主要讲解了哈密顿-雅可比方程的全积分，因为在力学应用中起主要作用的哈密顿-雅可比方程不是一般积分，而是全积分。然后研究哈密顿-雅可比方程的全积分与运动方程的关系，求出运动方程的通解，从而总结出利用哈密顿-雅可比函数求解力学系统运动问题的方法。并且，对于求解哈密顿-雅可比方程全积分的重要方法（分离变量法）做出了大篇幅的教学，主要包括在各个坐标系下的分离变量。1.2俄罗斯A.马尔契夫：《理论力学》第三版

8、7该书对此内容的讨论主要在“第十一章”，主要包含以下章节：§1雅可比乘子，§2含循环坐标的系统，§3泊松括号与第一积分，§4正则变换，§5运动方程积分的雅可比方程，§6作用-角变量，§7摄动理论中的正则变换[5]。该书是俄罗斯的经典数学教材，作者首