中考数学探秘之路灯下投影问题

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1、中考数学探秘之“路灯下的投影问题”【课题背景】在2011年金华市中考数学“考试目标”中，投影问题没有单独列出，似乎投影问题不是中考内容。仔细查阅，其实它是隐藏于“图形的相似”单元的知识条目中的，要求学会通过典型事例观察和认识现实生活中的相似，考试要求为b档次；学会利用图形的相似解决一些实际问题，考试要求为c档次。本课题重点研究灯光下的投影问题，这是中心投影范畴，主要用三角形相似中的“A”字形相似。纵观历年各省市的中考数学卷，出现灯光下的投影问题还是比较丰富的，进行此类问题的中考复习很有必要。通过该专题，以进一步掌握投影知识，学会熟练应用图形的相似进行求解说理。恰逢金华市首届特级教师带徒活动，

2、本人作为徒弟，在义乌市宾王中学上了一节题为“探索路灯下的投影问题”的市级公开课，抛砖引玉，以其得到与会师兄弟和唐建华特级教师的的指导，提升数学教学水平。【设计流程】课前语：数学是教人聪明的学问，学数学最重要的是体会数学中蕴含的思想方法，并有意识的在生活中应用这些方法解决身边的问题。在现实生活中有些测量可以直接实现，有些测量是无法直接实现的，如大树的高度、古塔的高度、灯柱的高度等等。当我们遇到无法直接实现的测量时，该怎么办呢？一、七嘴八舌，拓宽数学的思维在宽阔平直的大路边有一盏路灯，高高的如柱子挺立路旁，你能用什么方法来测一测这盏路灯的高度呢？分析：路灯很普通，几乎每一个人来人往的地方都有路灯

3、；路灯也很伟大，它总是风雨无阻，在夜幕降临时为过不完的行人和车流给以照明。今天我们就将从路灯谈起，走近路灯的世界。首先，我们来看看他那高大修长的身躯，你能用什么方法来测量这盏路灯的高度呢？学生各抒己见，其中有一种是借助它顶端的灯光照射下形成的影子来测量该路灯的高度。接下来，我们利用测得的数据，计算路灯的高度。二、小试牛刀，品味投影的成功81.义乌宾王中学的小辉同学身高1.7m，他很好学、爱动脑，看到城里一排排漂亮的路灯，为了测出某路灯的高度，他从路灯垂直地面的位置出发沿平直道路以1m/s的速度向东匀速走开，某时他的影子长POBNAM为1.3m，再过2s,他的影子长为1.8m，求该路灯的高度。

4、2.如图4，丁轩同学在晚上由路灯走向路灯，当他走到点时，发现身后他影子的顶部刚好接触到路灯的底部，当他向前再步行20m到达点时，发现身前他影子的顶部刚好到路灯的底部，已知丁轩同学的身高是1.5m，两个路灯的高度都是9m，则两路灯之间的距离是()A．24mB．25mC．28mD．30m分析：所举两例由一盏路灯到两盏路灯，复杂程度可想而知，再让人走动起来，动中取静思考问题，通过多次相似构造比例式，用方程的思想解决问题。对（1）解后及时总结方法，并让学生提出问题，再解决问题，以拓展学生的思维。三、不断探索，感受路灯的无限魅力如图甲，李华喜欢晚上在路灯下散步，抬头看看灯，低头看看路，真是美不胜收、很

5、是惬意！已知李华的身高AB＝k，灯柱的高OP＝OˊP′＝h，两灯柱之间的距离OO′＝m.（1）若李华距灯柱OP的水平距离OA＝a，求他的影子AC的长.甲乙OACBP（2）若李华在两路灯之间行走，则他前后的两个影子的长度之和（DA＋AC）是否是定值？请说明理由.(3)在点A朝着影子（如图乙箭头）的方向以v1匀速行走，它的影子的顶端在地面上移动的速度v2，请通过计算用v1的代数式表示v2。分析：8一盏路灯、两盏路灯的交叉应用，让学生理解影子的形成过程，在前后影子的分析中借助方程模型解决（1）和（2），对（3）在行程问题中展现影子的魅力，这里的速度指的是平均速度。要求学生在解题中能结合各种数学模型

6、，学会多角度探索，感受数学的拓展思维。BQCDAEFP四、延伸拓展，尽情才华的展示如图，现有一物体CD在路灯（图上A点处）的照射下，影子正好不落在墙PQ上，已知路灯杆AB距CD7.5m，物体CD高度为3m，其影长为5m。（1）求路灯AB的高度；（2）现另有一高6m的物体EF，在距路灯3m远处，问EF的影长是否会落在墙上？若会，请求出落在墙上的高度；若不会，请说明理由。分析：本题是本节课的高潮，在思路分析时，对（1）可以把线段EF先拿掉，转化为简单的利用“A”字形相似解决；对（2），我们把另一高为6m的物体EF放在AB与PQ之间，再投影（2）的问题就顺理成章了，学生会有这样那样的解法，这时教师

7、是一个旁观者，鼓励学生畅所欲言，教师稍作点评即可，要注意与平行投影的区别，不能平移光线，可以平移地面，或平移墙面，或让光线刚好照在墙角，或让光线穿过墙体照在地面上。在本题的求解中，学生将充分感受到综合题的知识系统化，灵活多变，方法多样，各显神通。类比：某兴趣小组的同学要测量树的高度．在阳光下，一名同学测得一根长为1米的竹竿的影长为.44码，同时另一名同学测量树的高度时，发现树的影子不全落在地面上，有一部分落在