2011考研数学一模拟题.doc

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1、2011考研数学一模拟题一、选择题：1~8小题，每小题4分，共32分。在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求，把所选项前的字母填在题后的括号中。（1）是在内单调增加的连续函数，对任何，记，，则必有（）（A）；（B）；（C）；（D）；（2）设函数在内连续，在内可导，函数的图像为xyO则其导数的图像为（）yxOyxO(A)(B)yxOyxO(C)(D)第13页共13页(3)设有下列命题：①若收敛，则收敛；②若收敛，则收敛；③若，则发散；④若收敛，则，收敛正确的是（）（A）①②（B）②③（C）③④（D）①④(4)设，则（）（A）；（B）；（C）；（D）(5)设是阶矩阵，齐次线性方程组（I

2、）有非零解，则非齐次线性方程组（II），对任何（A）不可能有唯一解；（B）必有无穷多解；（C）无解；（D）可能有唯一解，也可能有无穷多解(6)设均是阶可逆矩阵，则行列式的值为（A）；（B）；（C）；（D）(7)总体，为来自的样本，为样本均值，则（）（A）；（B）；（C）；（D）；(8)设随机变量相互独立且均服从正态分布，若概率则（）（A）；（B）；（C）；（D）；二、填空题：9~14小题，每小题4分，共24分。把答案填在题中的横线上。第13页共13页(9)函数在点处沿曲面在点处且平面的法矢量方向（指向轴正向）的方向导数为。(10)方程满足的特解为。(11)。其中为。(12)。(13)设是三

3、阶矩阵，已知，与相似，则的相似对角形为。(14)设10件产品中有4件不合格品，从中任取两件，已知所取的两件产品中有一件是不合格品，则另一件也是不合格品的概率为。三、解答题15~23小题，共94分。解答应写文字说明、证明过程或验算步骤。(15)（本题满分10分）设函数具有二阶连续偏导数，且满足等式。确定的值，使等式在变换下简化为。(16)（本题满分10分）（I）求幂级数的收敛域及其在收敛域内的和函数；（II）将所求得的和函数展开成的幂级数。(17)（本题满分10分）设在连续，且，。证明：至少，使得。(18)（本题满分10分）设点事椭圆面在第一卦限上的点。（I）求曲面在该点处的切平面方程；（I

4、I）设是切平面被三坐标平面夹在第一卦限的部分，问取何值时，曲面面积第13页共13页最小。其中是切平面的方向余弦。(19)（本题满分10分）设，其中在处二阶可导，且。（I）、为何值时在处连续？（II）、为何值时在处可导？(20)（本题满分11分）设是实矩阵。证明：（I）与是同解方程组；（II）秩=秩(21)（本题满分11分）设为三阶方阵，为三维线性无关列向量组，且有，，。求（I）求的全部特征值。（II）是否可以对角化？（22）（本题满分11分）设两随机变量在区域上均匀分布，其中，又设，，试求：（I）与的概率密度与；（II）与的协方差和相关系数（23）（本题满分11分）设总体的概率密度函数为，

5、其中。是总体的一个容量为的样本。（I）求参数的矩估计量；（II）求参数的最大似然估计量；（III）说明由最大似然估计法所得的估计量是否为无偏估计量。第13页共13页2011考研数学一模拟题参考答案一、选择题：1~8小题，每小题4分，共32分。在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求，把所选项前的字母填在题后的括号中。（1）A解：设，则所以，(2)B解：由于函数可导（除）且取得两个极值，故函数有两个驻点，即导函数图像与轴有且仅有两个交点，故A，C不正确。又由函数图像，极大值应小于极小值点，故D不正确。(3)B解：因级数是删除前1000项而得，故当收敛时，去掉有限项依然收敛，因此收敛，若

6、，则存在正整数，使得是，不变号。若，有正项级数的比值判别法知发散。同理可知，如果，则正项级数发散，因此发散。故②③正确，选B（4）A解：，因，则，故。而，故，所以【也可以用泰勒公式计算】（5）A第13页共13页解：有非零解，充要条件是，由此即可找到答案。（6）D解：==（7）C解：由于，所以故，（8）B因为服从正态分布，股根据题设知，，从而有，显然只有（B）满足要求。二、填空题：9~14小题，每小题4分，共24分。把答案填在题中的横线上。（9）应填0。解：切平面在点处指向轴正向的法向量为，其方向余弦为，于是(10)应填解：令，原方程变为方程两边对求导得再两边对求导得，即由得，故第13页共1

7、3页(11)应填(12)应填解：因故原式(13)应填【形式不唯一，只要是对角线上为-1，-2，-3就对】解：由，知的特征值为，相似矩阵具有相同的特征值，所以的特征值也为，故相似的标准形为(14)应填0.2解：设A：“所取的两件产品中至少有一件事不合格品”，B：“所取的两件都是不合格品”因为，所以三、解答题15~23小题，共94分。解答应写文字说明、证明过程或验算步骤。第13页共13页(15)（本题满分10分）解：，，将以