2011考研数学一模拟题.doc

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1、2011考研数学一模拟题一、选择题:1~8小题,每小题4分,共32分。在每小题给出的四个选项中,只有一项符合题目要求,把所选项前的字母填在题后的括号中。(1)是在内单调增加的连续函数,对任何,记,,则必有()(A);(B);(C);(D);(2)设函数在内连续,在内可导,函数的图像为xyO则其导数的图像为()yxOyxO(A)(B)yxOyxO(C)(D)第13页共13页(3)设有下列命题:①若收敛,则收敛;②若收敛,则收敛;③若,则发散;④若收敛,则,收敛正确的是()(A)①②(B)②③(C)③④(D)①④(4)设,则()(A);(B);(C);(D)(5)设是阶矩阵,齐次线性方程组(I

2、)有非零解,则非齐次线性方程组(II),对任何(A)不可能有唯一解;(B)必有无穷多解;(C)无解;(D)可能有唯一解,也可能有无穷多解(6)设均是阶可逆矩阵,则行列式的值为(A);(B);(C);(D)(7)总体,为来自的样本,为样本均值,则()(A);(B);(C);(D);(8)设随机变量相互独立且均服从正态分布,若概率则()(A);(B);(C);(D);二、填空题:9~14小题,每小题4分,共24分。把答案填在题中的横线上。第13页共13页(9)函数在点处沿曲面在点处且平面的法矢量方向(指向轴正向)的方向导数为。(10)方程满足的特解为。(11)。其中为。(12)。(13)设是三

3、阶矩阵,已知,与相似,则的相似对角形为。(14)设10件产品中有4件不合格品,从中任取两件,已知所取的两件产品中有一件是不合格品,则另一件也是不合格品的概率为。三、解答题15~23小题,共94分。解答应写文字说明、证明过程或验算步骤。(15)(本题满分10分)设函数具有二阶连续偏导数,且满足等式。确定的值,使等式在变换下简化为。(16)(本题满分10分)(I)求幂级数的收敛域及其在收敛域内的和函数;(II)将所求得的和函数展开成的幂级数。(17)(本题满分10分)设在连续,且,。证明:至少,使得。(18)(本题满分10分)设点事椭圆面在第一卦限上的点。(I)求曲面在该点处的切平面方程;(I

4、I)设是切平面被三坐标平面夹在第一卦限的部分,问取何值时,曲面面积第13页共13页最小。其中是切平面的方向余弦。(19)(本题满分10分)设,其中在处二阶可导,且。(I)、为何值时在处连续?(II)、为何值时在处可导?(20)(本题满分11分)设是实矩阵。证明:(I)与是同解方程组;(II)秩=秩(21)(本题满分11分)设为三阶方阵,为三维线性无关列向量组,且有,,。求(I)求的全部特征值。(II)是否可以对角化?(22)(本题满分11分)设两随机变量在区域上均匀分布,其中,又设,,试求:(I)与的概率密度与;(II)与的协方差和相关系数(23)(本题满分11分)设总体的概率密度函数为,

5、其中。是总体的一个容量为的样本。(I)求参数的矩估计量;(II)求参数的最大似然估计量;(III)说明由最大似然估计法所得的估计量是否为无偏估计量。第13页共13页2011考研数学一模拟题参考答案一、选择题:1~8小题,每小题4分,共32分。在每小题给出的四个选项中,只有一项符合题目要求,把所选项前的字母填在题后的括号中。(1)A解:设,则所以,(2)B解:由于函数可导(除)且取得两个极值,故函数有两个驻点,即导函数图像与轴有且仅有两个交点,故A,C不正确。又由函数图像,极大值应小于极小值点,故D不正确。(3)B解:因级数是删除前1000项而得,故当收敛时,去掉有限项依然收敛,因此收敛,若

6、,则存在正整数,使得是,不变号。若,有正项级数的比值判别法知发散。同理可知,如果,则正项级数发散,因此发散。故②③正确,选B(4)A解:,因,则,故。而,故,所以【也可以用泰勒公式计算】(5)A第13页共13页解:有非零解,充要条件是,由此即可找到答案。(6)D解:==(7)C解:由于,所以故,(8)B因为服从正态分布,股根据题设知,,从而有,显然只有(B)满足要求。二、填空题:9~14小题,每小题4分,共24分。把答案填在题中的横线上。(9)应填0。解:切平面在点处指向轴正向的法向量为,其方向余弦为,于是(10)应填解:令,原方程变为方程两边对求导得再两边对求导得,即由得,故第13页共1

7、3页(11)应填(12)应填解:因故原式(13)应填【形式不唯一,只要是对角线上为-1,-2,-3就对】解:由,知的特征值为,相似矩阵具有相同的特征值,所以的特征值也为,故相似的标准形为(14)应填0.2解:设A:“所取的两件产品中至少有一件事不合格品”,B:“所取的两件都是不合格品”因为,所以三、解答题15~23小题,共94分。解答应写文字说明、证明过程或验算步骤。第13页共13页(15)(本题满分10分)解:,,将以

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