关于电容器电容的定义问题

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1、关于电容器电容的定义问题一般普通物理书中把电容器的电容定义为：两个任意形状、互相靠近的导体，在周围没有其他导体或带电体时，它们就组成了一个电容器，每一个导体就是该电容器的一个极板．如果两极板上分别带有等量异号的电荷＋Q与－Q，它们相应的电势分别为与，实验表明，Q与成正比，比值叫做电容器的电容．不少学生提出问题：如果两个极板上不是带等量异号电荷，而是分别带有电荷与，此时电容器的电容能否仍用定义？如果可以，那么式中的Q指的是什么电荷？对此问题的解答是，电容器的电容仍可用定义，式中Q是指要使电容器两极板电势相等时，从一个极板向另一个极板转移的电量，是电量

2、Q转移之前两极板之间原有的电势差．为了对上述结论作出证明，让我们先引进电容系数概念．导体系的电容理论研究的是，在线性介质内导体系的电量与电势的关系．所谓线性介质是指电位移矢量D与场强E成线性关系，在这里表现为导体系的电量与电势成线性关系．设有N个导体组成的导体系，除大地外不受其他外部导体的影响，如N等于2时，导体系就是一个电容器．如图所示，使导体1具有电势，其余各导体电势均为零，在此情况下，导体1充电后电量为（1），其余导体上的感应电荷电量分别为（1），…，（1），这N个电量都是由所引起，故它们与成正比，即：再使导体2具有电势，其余各导体电势均为零

3、，如图所示．由于导体2具有电势，使这N个导体分别具有电量（2），（2），…，（2），它们之间的关系为：依此类推，直到使第N个导体具有电势，其余导体电势为零，N个导体上电量分别是，并得出下列关系：当使N个导体同时分别具有电势时，每个导体上的电量应为：以上N个等式可用通式表示为：（1）式中叫电容系数，它的物理意义是第j个导体具有单位电势时在第i个导体上感应电荷的电量，它的大小与导体系中各导体的大小、形状、相对位置及周围介质的性质有关，与导体系的电量与电势无关．应用静电场的格林互易定理，可以证明有一个重要性质．即：（2）（2）式表明，导体系中第j个导体具

4、有单位电势在第i个导体上产生的感应电荷，与第i个导体具有单位电势在第j个导体上产生的感应电荷相等．下面我们回到当电容器分别带有电荷和（），电容器的电容仍可用定义，Q是指要使电容器两板电势相等时，从一个极板向另一个极板转移的电量，是电量转移之前两极板之间原有电势差结论的证明上．显然，在电量Q转移之前，根据（1）式有如下关系：（3）电量Q转移之后，有以下关系：（4）（4）式中、和是Q转移后两极板所带的电量及共同的电势．根据电荷守恒定律，Q转移前后电容器所带有的总电量保持不变，即：（5）再根据（2）式有：（6）由（3）～（6）四式联立，可解得：（7）令：

5、（8）（9）则（7）式可写成：（10）由（8）式可看出，Q是极板1上电荷的减少量，也是极板2上电荷的增加量，因而Q是两极板之间转移的电量．乃是两极板之间原有的电势差．由（9）式可看出，当两极板的大小、形状和相对位置以及周围的介质不变时，、、都保持不变，也就是C保持不变，C就叫做电容器的电容．可见Q与是成正比的．这里所说的电容器电容的定义式与一般书中所说的定义式是一致的，后者仅是前者的特例，前者更具有普遍意义．对此，举例说明如下：例1：平行板电容器．分两种情况讨论．（1）有一个极板接地的情况．如图所示，容易证明，当两极板很靠近且无外部导体和带电体的影

6、响时，两极板相对的内侧面带有等量异号电荷与－，外侧面没有电荷分布．当用导线连接两极板后，它们的电势均为零，与－完全中和，它们的电量也都是零，即：（11）因而电量的转移为：（12）则（l0）式变为：（13）这表明电容器的电容C等于每个极板所带电量与两极板间的电势差之比，这样自然就回到了一般教科书中的定义式．（2）两极板都不接地的情况．如图所示，两极板的内侧电荷面密度分别为、，外侧电荷面密度分别为、，两极板侧面积均为S，用电磁学知识即可求得：（14）用导线连接两极板后，因为两极板的几何性质完全一样，静电平衡时它们所带的电量相等，即：（15）所以转移的电

7、量为：根据（l4）式，则（16）式可变为：可见，尽管两极板所带的电量不同，但它们的内侧面所带电荷是等量异号的，而且转移的也就是这部分电量．现在（10）式可变为：（18）注意，是两极板内侧面上的电量，不是每个极板上的总电量，电容为每个极板内侧面所带的电量与两极板间电势差之比．由于两极板完全一样，根据对称性，有：（19）把（19）式代入（9）式可得：（20）当一个极板接地时，（3）式变为：（21）由（21）式和（2）式可得出：（22）将（22）式代入（20）式，最后得到：（23）例2：球电容器．如图所示，内外球壳半径分别为与，各带电荷分别为与，此时两球

8、壳的电势差为：用导线将内外球壳相连时，内球壳上的电荷将全部转移到外球壳的表面上，故转移的电量为：（25）故（10）式此时可