清北学堂济南班邹明数一讲义

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1、关于代数、数论中的存在性问题(2010年2月寒假)邹明一.关于代数中的存在性问题1.是否存在这样的正整数等比数列:仅5项其和为211?请说明理由.2.(a)设实数x,y,z都不等于1,满足xyz=1.求证:(b)证明:存在无穷多组三元有理数组(x,y,z),x,y,z都不等于1,且xyz=1,使得上述不等式等号成立.3.是否存在这样的三角形:三边长皆为有理数,且有一内角的度数也是有理数?若存在,求出该内角度数的所有可能值;若不存在,请说明理由.4.设k是一个不小于3的正整数,是一个实数,如果cos和cos都是有理数.证明:存在正整数n,使得cos和cos都是有理

2、数.5.设，且sin，cos均为有理.求证:存在满足:(ⅰ);(ⅱ)sin1,sin2,cos1,cos2均为有理.6.设M为整数集Z的一个含0的有限子集,又设f,g:M→M为两个单调减函数,且满足g(f(0))≥0.求证:在M中存在整数p使得g(f(p))=p.7.是否存在最小的实常数c，使得c(x+y+z)4≥x3y+y3z+z3x+xy3+yz3+zx3对于所有的非负实数x,y,z恒成立?，若存在求c的最小值,若不存在,请明理由.8.设ak>0，k=1,2,…,2008.证明：当且仅当时,存在数列{xn}满足以下条件:(ⅰ)0=x0

3、,2,3,…;(ⅱ)存在;(ⅲ)xn-xn-1=,n=1,2,3,….9.设函数f(x)对所有实数x都满足f(x+2π)=f(x).求证:存在四个函数fi(x)(i=1,2,3,4)满足:5(1)对i=1,2,3,4,fi(x)是偶函数,且对任意实数x有fi(x+π)=fi(x);(2)对任意实数x有f(x)=f1(x)+f2(x)cosx+f3(x)sinx+f4(x)sin2x.10.若正整数m,n,k满足:mn=k2+1.证明，存在a,b,c,d∈N,使以下三式：m=a2+b2,n=c2+d2,k=ac+bd同时成立.11.是否存在正实数a1,a2,…,a

4、2010，使得对任意正整数k,1≤k≤2010,多项式的每个复根都满足12.设n个两两不同的实数x1，x2，…，xn，（正整数n≥4）满足条件:x1+x2+…+xn=0和.求证：在x1，x2，…，xn中存在4个不同的实数a，b，c，d使得13.给定实数a和正整数n.求证:(Ⅰ)存在唯一的实数列x0,x1,…,xn,xn+1满足:.(Ⅱ)

5、xi

6、≤

7、a

8、,i=0,1,2,…,n+1.14.给定n≥3.求证:存在n个正整数都是整数的完全方幂,且构成等差数列(完全方幂即:xk,整数k>1,x≥1).15.定义rad(1)=1,rad(n)等于n的所有不同质因数的积,数

9、列{an}满足:a1=1,an+1=an+rad(an)(n=1,2,……).证明:对任意大于2的整数m,数列{an}中都有连续m项组成等差数列.16.设正实数a,b满足b-a>2.求证:对区间中任意两个不同的整数m,n,总存在一个由区间中某些整数组成的(非空)集合S,使得是一个有理数的平方.517.求最大的常数，使得对任意正整数，存在正实数数列，及满足（1），；（2）．二.关于数论中的存在性问题1.证明存在无穷多个整数n,使得2n+1与3n+1为完全平方数,并且20

10、n.2.设k,l是给定的两个正整数.求证:有无穷多个正整数m≥k,使得与l互素.3.证明:对任

11、意正整数n≥2,总存在n个互不相同的正整数a1,a2,…,an,使得对任意1≤i≤j≤n有(ai-aj)2

12、aiaj.4.正整数m,n,k满足：k2+k+3=mn.证明不定方程x2+11y2=4m和x2+11y2=4n中至少有一个有奇数解(x,y).5.求证:存在唯一的正整数数列使得,,．6.证明:对于任意正整数k，总存在满足下列条件的正整数n：(ⅰ)n整除2n+1，(ⅱ)n恰有k个不同的素数因子。7.求所有适合下列条件的正整数的个数:存在非负整数x0,x1,x2,…,x2009使得.8.已知数列{an}满足a1=1,a2=1,a3=3,an=an-1+2an-

13、2+an-3,n=4,5,…….求证:对任何正整数m,总存在无穷多个正整数n使得m

14、an.9.证明:对任意给定素数p,总存在无穷多个正整数n,使得p

15、2n+3n-n.10.证明:存在无穷多个整系数多项式f(x),使得它在R上不是单射,而在Q上是单射.511.对任意n个两两互素的正整数:m1,m2,…,mn.证明:总可以找到n个连续的自然数k+1,k+2,…,k+n使得mi

16、k+i(i=1,2,…,n).12.证明:存在n元自然数集合A(n≥2)使得:(1)A中任意两个数互质;(2)A中任意k(≥2)个数的和都是合数.13.设x,y是整数,(x,y)=1,则称整点

17、(x,y)为既约整点.求