2018版考前三个月高考数学理科总复习压轴大题突破练1：导数（含解析）

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1、压轴大题突破练1.导　数1.(2017·安徽“皖南八校”联考)已知函数f(x)＝ex－ax2－2ax－1.(1)当a＝1时，求曲线y＝f(x)在点(－1，f(－1))处的切线方程；(2)当x＞0时，f(x)＞0恒成立，求实数a的取值范围.解　(1)当a＝1时，f(x)＝ex－x2－2x－1，f(－1)＝，所以切点坐标为，f′(x)＝ex－2x－2，所以f′(－1)＝，故曲线y＝f(x)在点(－1，f(－1))处的切线方程为y－＝，即y＝x＋.(2)f(x)＝ex－ax2－2ax－1求导得f′(x)＝ex－2ax－2a

2、，令g(x)＝f′(x)＝ex－2ax－2a，则g′(x)＝ex－2a(x＞0).①当2a≤1，即a≤时，g′(x)＝ex－2a＞1－2a≥0，所以g(x)＝f′(x)＝ex－2ax－2a在(0，＋∞)上为增函数，g(x)＞g(0)＝1－2a≥0，即g(x)＝f′(x)≥0，所以f(x)＝ex－ax2－2ax－1在(0，＋∞)上为增函数，所以f(x)＞f(0)＝1－0－0－1＝0，故a≤时符合题意.②当2a＞1，即a＞时，令g′(x)＝ex－2a＝0，得x＝ln2a＞0，x(0，ln2a)ln2a(ln2a，＋∞)g

3、′(x)－0＋g(x)减函数极小值增函数当x∈(0，ln2a)时，g(x)＜g(0)＝1－2a＜0，即f′(x)＜0，所以f(x)在(0，ln2a)上为减函数，所以f(x)＜f(0)＝0，与条件矛盾，故舍去.综上，a的取值范围是.2.(2017·广东惠州调研)已知函数f(x)＝x2－(a－2)x－alnx(a∈R).(1)求函数y＝f(x)的单调区间；(2)当a＝1时，证明：对任意的x＞0，f(x)＋ex＞x2＋x＋2.(1)解　函数f(x)的定义域是(0，＋∞)，f′(x)＝2x－(a－2)－＝＝.当a≤0时，f′

4、(x)＞0对任意x∈(0，＋∞)恒成立，所以函数f(x)在区间(0，＋∞)上单调递增.当a＞0时，由f′(x)＞0，得x＞，由f′(x)＜0，得0＜x＜，所以函数f(x)在区间上单调递增，在区间上单调递减.(2)证明　当a＝1时，f(x)＝x2＋x－lnx，要证明f(x)＋ex＞x2＋x＋2，只需证明ex－lnx－2＞0，设g(x)＝ex－lnx－2，则问题转化为证明对任意的x＞0，g(x)＞0，令g′(x)＝ex－＝0，得ex＝，容易知道该方程有唯一解，不妨设为x0，则x0满足＝，当x变化时，g′(x)和g(x)的

5、变化情况如下表：x(0，x0)x0(x0，＋∞)g′(x)－0＋g(x)单调递减单调递增g(x)min＝g(x0)＝－lnx0－2＝＋x0－2，因为x0＞0，且x0≠1，所以g(x)min＞2－2＝0，因此不等式得证.3.(2017·荆、荆、襄、宜四地七校联考)已知函数f(x)＝lnx－x.(1)求函数f(x)的单调区间；(2)若方程f(x)＝m(m＜－2)有两个相异实根x1，x2，且x1

6、时，f′(x)＞0，所以y＝f(x)在(0，1)上单调递增，当x∈(1，＋∞)时，f′(x)＜0，所以y＝f(x)在(1，＋∞)上单调递减.(2)证明　由(1)可知，f(x)＝m的两个相异实根x1，x2满足lnx－x－m＝0，且0＜x1＜1，x2＞1，lnx1－x1－m＝lnx2－x2－m＝0，由题意可知lnx2－x2＝m＜－2＜ln2－2，又由(1)可知f(x)＝lnx－x在(1，＋∞)上单调递减，故x2＞2，所以0＜x1＜1，0＜＜1.令g(x)＝lnx－x－m，则g(x1)－g＝(lnx1－x1)－＝(lnx2

7、－x2)－(ln－)＝－x2＋＋3lnx2－ln2，令h(t)＝－t＋＋3lnt－ln2(t＞2)，则h′(t)＝－1－＋＝＝－.当t＞2时，h′(t)＜0，h(t)在(2，＋∞)上单调递减，所以h(t)＜h(2)＝2ln2－＜0.所以当x2＞2时，g(x1)－g＜0，即g(x1)＜g，因为0＜x1＜1，0＜＜1，g(x)在(0，1)上单调递增，所以x1＜，故x1·x＜2.综上所述，x1·x＜2.4.(2017届重庆市一中月考)已知函数f(x)＝alnx－ax－3(a∈R).(1)当a＞0时，求函数f(x)的单调区间

8、；(2)若函数y＝f(x)的图象在点(2，f(2))处的切线的倾斜角为45°，且函数g(x)＝x2＋nx＋mf′(x)(m，n∈R)，当且仅当在x＝1处取得极值，其中f′(x)为f(x)的导函数，求m的取值范围.解　(1)f′(x)＝(x＞0)，当a＞0时，令f′(x)＞0，得0＜x＜1，令f′(x)＜0，得x＞1，故函数f(x)的单调递增区间