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1、CUPTNO.3Twistedrope题目:Holdaropeandtwistoneendofit.Atsomepointtheropewillformahelixoraloop.Investigateandexplainthephenomenon.握住一根绳子,然后扭转它的一端。在某些点上,绳索将形成的螺旋形或环形结构。研究并解释该现象。一.物理量:(注:翻译可能不准确,故给出英文)(还有最好连源文档一起带着)1.bendingrigidity-抗弯刚度:(B)E杨氏模量,r绳的半径2.torsionalrigidity-扭转刚度
2、:(C)G剪切模量,J极惯性矩,r绳的半径3.thedisplacementoftheendsoftherodtowardseachother理解为:绳子由拉直状态开始,两端接近的直线距离(水平)(D)(只移动s=L的一端。)4.therotationofoneendoftherodwithrespecttotheotherend绳的一端相对于另一端转过的角度(R/2π)二.理论:坐标系:X-Y-Z直角坐标,基(i,j,k)但定义的位置矢量为:r(s)=(X(s),Y(s),Z(s))其中,s为由原点开始,绳子的长度。在此基础上,定
3、义了一组两两正交的单位向量:d1,d2,d3为切矢量(thetangentvector)为曲线的法向量(aunitvectord1(s),calleda“director”.Thedirectorisnormaltothecurveandalignedwithaprincipalaxis.)则有-------------(a)其中u为曲率向量(udenotesthecurvaturevector)且有其中,k1,k2分别为d1,d2方向的曲率,T为d3方向的单位长度的扭转数。(κ1isthecurvatureaboutd1,κ2is
4、thecurvatureaboutd2,andτisthetwistaboutd3.)力学方程:-----------(b)其中,M1,M2分别为d1,d2方向的弯矩,M为轴向的扭矩。(M1andM2arethebendingmomentsabouttwo(orthogonal)principalaxesofthecross-section,Mistheaxialtwistingmoment,andτisthetwistperunitlength.)平衡方程:1.ThelawsofNewtonandEulerstatethatfor
5、staticalequilibrium,theresultantofthecontactforcesandcontactmomentsmustbezero.Therefore,ignoringbodyforces,wehave其中,N1,N2为切应力,N3为轴向应力(N1andN2areshearforces,andN3istheaxialforce(tensionpositiveandcompressionnegative))2.Forthebalanceofmoments,wehave其中,M1,M2为弯矩,M3为扭矩(M1an
6、dM2arethebendingmoments,andM3isthetwistingmoment.)由两个方程,再有a,b两式,可以写成分量形式:可以得到M3大小为恒量另外,在各项同性和不同性杆里,均有:为恒量有了这些条件,可以求边界方程:初始条件:r(0)=(0,0,0)r(L)=(0,0,L-D)(由于两端固定为水平)又有:得到:边界的求法:首先,由上面6个微分方程所构成的微分方程组确定函数组:Ni(s),Mi(s)(i=1,2,3)再由任意s处的受力平衡等条件,求出d3(s)对其三个分量积分,分别得到:X(s),Y(s),Z(
7、s),此即曲线的参数方程。要点:1.方程a,b,平衡方程,恒量式的推导,即怎么写出来的。具体用了什么定理。2.d1的定义其实非常模糊,它的具体含义。(因为曲线的法向量其实不止一个。)3.微分方程组很可能要借助于MATLAB来解,此时边界求法的可行性。(因为很可能解不出显函数组)4.最重要的一点,这些杆中的理论能否推至绳。