大学物理第四章题解

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1、第四章经典质点动力学4-1．已知质量为的质点的运动学方程为（国际制单位），求证质点所受合力为恒力．证对运动学方程求时间导数可见质点所受合力为恒力．4-2．已知质量为的质点，在合力作用下运动．已知s时，质点位于m、处，并以速率沿轴正向运动．求质点运动学方程．解由，知，．可得，积分，求出，再根据，再积分，质点运动学方程为，4-3．跳水运动员沿竖直方向入水，刚入水时速率为，以入水点为点，轴竖直向下，运动员入水后浮力与重力抵消，受水的阻力与速度平方成正比，比例系数为，求入水后运动员速度随时间的变化规律．解以运动员为质点，根据牛顿第二定律有，即分离变量并积分即可求出也可以表示为4

2、-4．跳水运动员由高处下落，设运动员入水后重力与浮力抵消，受水的阻力与速度平方成正比，比例系数（为运动员质量）．求运动员速率减为入水速率的时，其入水深度（均为国际制单位）．解以入水点为点，轴竖直向下，以运动员为质点，根据牛顿第二定律有9做变量变换，得即分离变量并积分可知运动员速率减为入水速率的时，其入水深度．4-5．质量为的小球系在一不可伸长的轻绳之一端，可在水平光滑桌面上滑动．绳的另一端穿过桌面上一小孔，握在一人手中使它以匀速率向下运动．设初始时绳是拉直的，小球与小孔的距离为，初速度在垂直于绳的方向上的分量为．试求小球运动和绳子的张力．解小球视为质点，作为研究对象，受

3、力分析如图．以桌面小孔为坐标原点，建立极坐标系如图，根据牛顿第二定律，有在极坐标系中的投影方程为（1）（2）由题意可知（3）由（3）式得所以，代入（2）式，得，即初始时，即，把上式分离变量且积分所以把上式分离变量且积分所以小球的运动学方程为，．由（1）式得94-6．已知质点所受合力为，求在到时间内合力对质点的冲量．（国际制单位．）解到时间内合力对质点的冲量为（国际制单位）4-7．用棒打击质量为、从西沿水平方向以速率飞来的球，球落到棒的西面处，球上升的最大高度为，打击时间为，打击时可略去重力，取．求：（1）棒对球的冲量；（2）棒给予球的平均冲力．解建立坐标系，轴沿水平方向

4、自东向西，轴竖直向上．先讨论球被棒打击后的运动，球仅受重力，可知，当时球达到最大高度．根据求出，代入得到因，略去，可求出．进而求出．由于球沿方向作匀速率运动，到时向西运动了，所以．在碰撞中根据动量定理由于，，所以棒对球的冲量平均冲力4-8．从高出枰盘处，将每个质量均为的橡皮泥块，以每秒个的速率注入枰盘，橡皮泥块落入枰盘后均黏附在盘上．以开始注入时为，求时枰的读数．解橡皮泥块在下落过程中只受重力，橡皮泥块落入枰盘的速率在橡皮泥块落入秤盘的过程中，对秤盘的平均冲力为（向上为正方向）由于橡皮泥块由处下落，由可知下落的时间．所以时枰盘内橡皮泥块受到的总重力因此秤的读数为94-9

5、．对例题4-4-2（见图），判断以下说法的正误：（1）质点对点角动量守恒；（2）质点对点角动量守恒；（3）质点对轴角动量守恒；（4）质点对轴角动量守恒．解（1）摆锤所受合力指向点，摆锤所受合力对点力矩为零，所以质点对点角动量守恒．（2）合力对点力矩不为零，质点对点角动量不受恒．（3）质点所受合力的作用线过轴，对轴合力矩为零，所以质点对轴角动量守恒．（4）质点对点角动量守恒，所以质点对轴角动量守恒．4-10．在一直角坐标系中，一质点位于点处，并受一作用力，求：（1）力对点的力矩；（2）力对轴的力矩．解，所以4-11．在直角坐标系中，质点质量为，其速度，并已知时位置矢量．求

6、：（1）质点对点的角动量；（2）质点对轴的角动量；（3）质点所受合力对点和轴的力矩．解因为，，所以，即所以（1）（2）（3）4-12．设质点在平面内运动，试判断以下论述是否正确：（1）若质点动量守恒，则对轴角动量守恒；（2）若质点对轴角动量守恒，则动量守恒；（3）若质点对轴角动量守恒，则动量的大小保持不变；（4）若质点对轴角动量守恒，则质点不可能作直线运动．解（1）正确．质点动量守恒，则质点所受合力为零，质点所受合力对轴力矩为零，所以对轴角动量守恒．（2）不对．比如，质点在平面内、绕点做匀速圆周运动，对轴角动量守恒，但是动量并不守恒．（3）不对．比如例题4-5-2，质点

7、在平面内做椭圆运动，它所受的合力是有心力，始终指向点，所以对轴的角动量守恒，但是动量的大小不断变化．（4）不对．在平面内做匀速直线运动的质点对轴角动量守恒．94-13．质量为的质点在平面内运动，其运动学方程为，，、、均为常量．求：（1）质点对轴的角动量；（2）质点所受对轴的合力矩．解（1）对运动学方程求时间导数，可得所以（2）因为常量，由对的角动量定理，可知质点所受对轴的合力矩4-14．如图，刚性转动系统放在盛有液体的容器内，长为的细杆一端固定一质量为的小球，另一端垂直地固定于转轴．小球受液体阻力与小球质量及系统转动角速度的大小成正比，即