数学分析续论a卷复习资料

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1、数学分析续论A卷复习资料一.计算题1.求函数在点(0,0)处的二次极限与二重极限.解：，因此二重极限为.因为与均不存在，故二次极限均不存在。2.设是由方程组所确定的隐函数,其中和分别具有连续的导数和偏导数,求.3.取为新自变量及为新函数，变换方程。设（假设出现的导数皆连续）.解：看成是的复合函数如下：。代人原方程，并将变换为。整理得：。4.要做一个容积为的有盖圆桶,什么样的尺寸才能使用料最省?解：设圆桶底面半径为,高为,则原问题即为：求目标函数在约束条件下的最小值，其中目标函数:,约束条件:。构造Lagrange函数：。令解得，故有由题意知问题的最小值必存在，当底面半径

2、为高为时，制作圆桶用料最省。1.设,计算.解：由含参积分的求导公式。2.求曲线所围的面积，其中常数.解：利用坐标变换由于，则图象在第一三象限，从而可以利用对称性，只需求第一象限内的面积。。则.7.计算曲线积分,其中是圆柱面与平面的交线（为一椭圆），从轴的正向看去，是逆时针方向.解：取平面上由曲线所围的部分作为Stokes公式中的曲面，定向为上侧，则的法向量为。由Stokes公式得8.计算积分,为椭球的上半部分的下侧.二.证明题9.讨论函数在原点(0,0)处的连续性、可偏导性和可微性.10.设满足：（1）在上连续，（2），（3）当固定时，函数是的严格单减函数。试证：存在，

3、使得在上通过定义了一个函数，且在上连续。证明：（i）先证隐函数的存在性。由条件（3）知，在上是的严格单减函数，而由条件（2）知，从而由函数的连续性得，。现考虑一元连续函数。由于，则必存在使得，。同理，则必存在使得，。取，则在邻域内同时成立，。于是，对邻域内的任意一点，都成立，。固定此，考虑一元连续函数。由上式和函数关于的连续性可知，存在的零点使得＝0。而关于严格单减，从而使＝0的是唯一的。再由的任意性，证明了对内任意一点，总能从找到唯一确定的与相对应，即存在函数关系或。此证明了隐函数的存在性。（ii）下证隐函数的连续性。设是内的任意一点，记。对任意给定的，作两平行线，。

4、由上述证明知，。由的连续性，必存在的邻域使得，，。对任意的，固定此并考虑的函数，它关于严格单减且，。于是在内存在唯一的一个零点使，即对任意的，它对应的函数值满足。这证明了函数是连续的。