第十三篇 推理证明、算法、复数第4讲 数学归纳法

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1、第4讲　数学归纳法1．数学归纳法的原理及其步骤．2．能用数学归纳法证明一些简单的数学命题．【复习指导】复习时要抓住数学归纳法证明命题的原理，明晰其内在的联系，把握数学归纳法证明命题的一般步骤，熟知每一步之间的区别联系，熟悉数学归纳法在证明命题中的应用技巧．基础梳理1．归纳法由一系列有限的特殊事例得出一般结论的推理方法，通常叫做归纳法．根据推理过程中考查的对象是涉及事物的全体或部分可分为完全归纳法和不完全归纳法．2．数学归纳法(1)数学归纳法：设{Pn}是一个与正整数相关的命题集合，如果：①证明起始命题P1(或P0)成立；②在假设Pk成立的前提下，推出Pk＋1也成立，那么

2、可以断定{Pn}对一切正整数成立．(2)用数学归纳法证明一个与正整数有关的命题时，其步骤为：①归纳奠基：证明当取第一个自然数n0时命题成立；②归纳递推：假设n＝k，(k∈N*，k≥n0)时，命题成立，证明当n＝k＋1时，命题成立；③由①②得出结论．两个防范数学归纳法是一种只适用于与正整数有关的命题的证明方法，第一步是递推的“基础”，第二步是递推的“依据”，两个步骤缺一不可，在证明过程中要防范以下两点：(1)第一步验证n＝n0时，n0不一定为1，要根据题目要求选择合适的起始值．(2)第二步中，归纳假设起着“已知条件”的作用，在证明n＝k＋1时，命题也成立的过程中一定要用到

3、它，否则就不是数学归纳法．第二步关键是“一凑假设，二凑结论”．三个注意运用数学归纳法应注意以下三点：(1)n＝n0时成立，要弄清楚命题的含义．(2)由假设n＝k成立证n＝k＋1时，要推导详实，并且一定要运用n＝k成立的结论．(3)要注意n＝k到n＝k＋1时增加的项数．双基自测1．在应用数学归纳法证明凸n边形的对角线为n(n－3)条时，第一步检验第一个值n0等于(　　)．A．1B．2C．3D．0解析　边数最少的凸n边形是三角形．答案　C2．利用数学归纳法证明不等式1＋＋＋…＋＜f(n)(n≥2，n∈N*)的过程，由n＝k到n＝k＋1时，左边增加了(　　)．A．1项B．k项

4、C．2k－1项D．2k项解析　1＋＋＋…＋－＝＋＋…＋，共增加了2k项，故选D.答案　D3．用数学归纳法证明：“1＋a＋a2＋…＋an＋1＝(a≠1，n∈N*)”在验证n＝1时，左端计算所得的项为(　　)．A．1B．1＋aC．1＋a＋a2D．1＋a＋a2＋a3答案　C4．某个命题与自然数n有关，若n＝k(k∈N*)时命题成立，那么可推得当n＝k＋1时该命题也成立，现已知n＝5时，该命题不成立，那么可以推得(　　)．A．n＝6时该命题不成立B．n＝6时该命题成立C．n＝4时该命题不成立D．n＝4时该命题成立解析　法一　由n＝k(k∈N*)成立，可推得当n＝k＋1时该命题也

5、成立．因而若n＝4成立，必有n＝5成立．现知n＝5不成立，所以n＝4一定不成立．法二　其逆否命题“若当n＝k＋1时该命题不成立，则当n＝k时也不成立”为真，故“n＝5时不成立”⇒“n＝4时不成立”．答案　C5．用数学归纳法证明不等式＋＋…＋＞的过程中，由n＝k推导n＝k＋1时，不等式的左边增加的式子是________．解析　不等式的左边增加的式子是＋－＝，故填.答案　　　考向一　用数学归纳法证明等式【例1】►用数学归纳法证明：tanα·tan2α＋tan2α·tan3α＋…＋tan(n－1)α·tannα＝－n(n∈N*，n≥2)．[审题视点]注意第一步验证的值，在第二

6、步推理证明时要注意把假设作为已知．证明　(1)当n＝2时，右边＝－2＝－2＝＝tanα·tan2α＝左边，等式成立．(2)假设当n＝k(k∈N*且k≥2)时，等式成立，即tanα·tan2α＋tan2α·tan3α＋…＋tan(k－1)α·tankα＝－k，那么当n＝k＋1时，tanα·tan2α＋tan2α·tan3α＋…＋tan(k－1)α·tankα＋tankα·tan(k＋1)α＝－k＋tankα·tan(k＋1)α＝＋1＋tankα·tan(k＋1)α－(k＋1)＝＋－(k＋1)＝－(k＋1)．这就是说，当n＝k＋1时等式也成立．由(1)(2)知，对任何n∈N

7、*且n≥2，原等式成立．用数学归纳法证明等式时，要注意第(1)步中验证n0的值，如本题要取n0＝2，在第(2)步的证明中应在归纳假设的基础上正确地使用正切的差角公式．【训练1】用数学归纳法证明：对任意的n∈N*，＋＋…＋＝.证明　(1)当n＝1时，左边＝＝，右边＝，左边＝右边，所以等式成立．(2)假设当n＝k(k∈N*且k≥1)时等式成立，即有＋＋…＋＝，则当n＝k＋1时，＋＋…＋＋＝＋＝＝＝＝，所以当n＝k＋1时，等式也成立．由(1)(2)可知，对一切n∈N*等式都成立．考向二　用数学归纳法证明整除问题【例2】►是否存在正整数m使得f(