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《概率论与数理统计浙大四版习题答案第三章》由会员上传分享,免费在线阅读,更多相关内容在教育资源-天天文库。
1、第三章多维随机变量及其分布1.[一]在一箱子里装有12只开关,其中2只是次品,在其中随机地取两次,每次取一只。考虑两种试验:(1)放回抽样,(2)不放回抽样。我们定义随机变量X,Y如下:试分别就(1)(2)两种情况,写出X和Y的联合分布律。解:(1)放回抽样情况由于每次取物是独立的。由独立性定义知。P(X=i,Y=j)=P(X=i)P(Y=j)P(X=0,Y=0)=P(X=0,Y=1)=P(X=1,Y=0)=P(X=1,Y=1)=或写成XY0101(2)不放回抽样的情况P{X=0,Y=0}=P{X=0,Y=1}=41P{X=1,Y=0}=
2、P{X=1,Y=1}=或写成XY01013.[二]盒子里装有3只黑球,2只红球,2只白球,在其中任取4只球,以X表示取到黑球的只数,以Y表示取到白球的只数,求X,Y的联合分布律。XY01230001020解:(X,Y)的可能取值为(i,j),i=0,1,2,3,j=0,12,i+j≥2,联合分布律为P{X=0,Y=2}=P{X=1,Y=1}=P{X=1,Y=2}=P{X=2,Y=0}=P{X=2,Y=1}=41P{X=2,Y=2}=P{X=3,Y=0}=P{X=3,Y=1}=P{X=3,Y=2}=05.[三]设随机变量(X,Y)概率密度为
3、(1)确定常数k。(2)求P{X<1,Y<3}(3)求P(X<1.5}(4)求P(X+Y≤4}分析:利用P{(X,Y)∈G}=再化为累次积分,其中解:(1)∵,∴(2)(3)y(4)6.(1)求第1题中的随机变量(X、Y)的边缘分布律。(2)求第2题中的随机变量(X、Y)的边缘分布律。2解:(1)①放回抽样(第1题)XY0x+y=4110xo141边缘分布律为X01Y01Pi·P·j②不放回抽样(第1题)XY0101边缘分布为X01Y01Pi·P·j(2)(X,Y)的联合分布律如下XY0123000300解:X的边缘分布律Y的边缘分布律X
4、0123Y13Pi·P·j7.[五]设二维随机变量(X,Y)的概率密度为解:8.[六]设二维随机变量(X,Y)的概率密度为41x=yy求边缘概率密度。xo解:9.[七]设二维随机变量(X,Y)的概率密度为(1)试确定常数c。(2)求边缘概率密度。解:l=yoy=x2x15.第1题中的随机变量X和Y是否相互独立。解:放回抽样的情况P{X=0,Y=0}=P{X=0}·P{Y=0}=P{X=0,Y=1}=P{X=0}P{Y=1}=P{X=1,Y=0}=P{X=1}P{Y=0}=P{X=1,Y=1}=P{X=1}P{Y=1}=在放回抽样的情况下,
5、X和Y是独立的不放回抽样的情况:P{X=0,Y=0}=41P{X=0}=P{X=0}=P{X=0,Y=0}+P{Y=0,X=1}=P{X=0}·P{Y=0}=P{X=0,Y=0}≠P{X=0}P{Y=0}∴X和Y不独立16.[十四]设X,Y是两个相互独立的随机变量,X在(0,1)上服从均匀分布。Y的概率密度为(1)求X和Y的联合密度。(2)设含有a的二次方程为a2+2Xa+Y=0,试求有实根的概率。解:(1)X的概率密度为y=x2Y的概率密度为1xDyo且知X,Y相互独立,于是(X,Y)的联合密度为(2)由于a有实跟根,从而判别式即:记4
6、119.[十八]设某种商品一周的需要量是一个随机变量,其概率密度为并设各周的需要量是相互独立的,试求(1)两周(2)三周的需要量的概率密度。解:(1)设第一周需要量为X,它是随机变量设第二周需要量为Y,它是随机变量且为同分布,其分布密度为Z=X+Y表示两周需要的商品量,由X和Y的独立性可知:∵z≥0∴当z<0时,fz(z)=0当z>0时,由和的概率公式知∴(2)设z表示前两周需要量,其概率密度为设ξ表示第三周需要量,其概率密度为:41z与ξ相互独立η=z+ξ表示前三周需要量则:∵η≥0,∴当u<0,fη(u)=0当u>0时所以η的概率密度
7、为22.[二十二]设某种型号的电子管的寿命(以小时计)近似地服从N(160,20)分布。随机地选取4只求其中没有一只寿命小于180小时的概率。解:设X1,X2,X3,X4为4只电子管的寿命,它们相互独立,同分布,其概率密度为:设N=min{X1,X2,X3,X4}P{N>180}=P{X1>180,X2>180,X3>180,X4>180}=P{X>180}4={1-p[X<180]}4=(0.1587)4=0.0006327.[二十八]设随机变量(X,Y)的分布律为41XY012345012300.010.010.010.010.020
8、.030.020.030.040.050.040.050.050.050.060.070.060.050.060.090.080.060.05(1)求P{X=2
9、Y=2},P{Y=3
10、X=0}