2008优秀的数学建模论文

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1、数码相机定位问题的研究摘要本文从计算机视觉系统出发，对数码相机的定位问题进行了深入研究，并建立了相应的数学模型。对于问题一，先运用光学成像的相关知识，建立了针孔模型，然后又考虑了摄像机的畸变问题，对上述模型进行改进，建立了非线性模型，并给出了相应的算法。对于问题二，基于问题一中建立的模型，运用最小二乘法的思想，利用软件进行求解，得到靶标上圆的圆心在该相机像平面上的像坐标为：（单位：mm）坐标-53.5761-25.033635.989319.7455-64.6248-55.4880-52.2181-47.780132.595433.7029对于问题

2、三，运用蒙特卡罗模拟数据的方法，借助软件，对问题一中的模型进行了检验，并对该方法的精度和稳定性进行了讨论。对于问题四，运用几何学的相关知识，建立了双目定位系统中两部相机之间的关系式，从而确定了它们在空间中的相对位置关系，并给出了相应的算法。本文综合考虑多方面因素，公式、表格、图形表达相结合，建立的模型结构严密，具有较强的逻辑推理性，最后并对结果进行分析与检验，符合实际情况，具有一定的参考价值。关键词：数码相机针孔模型靶标蒙特卡罗22一、问题重述1.1基本情况数码相机定位在交通监管（电子警察）等方面有广泛的应用。所谓数码相机定位是指用数码相机摄制物体

3、的相片确定物体表面某些特征点的位置。最常用的定位方法是双目定位，即用两部相机来定位。对物体上一个特征点，用两部固定于不同位置的相机摄得物体的像，分别获得该点在两部相机像平面上的坐标。只要知道两部相机精确的相对位置，就可用几何的方法得到该特征点在固定一部相机的坐标系中的坐标，即确定了特征点的位置。于是对双目定位，精确地确定两部相机的相对位置就是关键，这一过程称为系统标定。标定的一种做法是：在一块平板上画若干个点，同时用这两部相机照相，分别得到这些点在它们像平面上的像点，利用这两组像点的几何关系就可以得到这两部相机的相对位置。然而，无论在物平面或像平面

4、上都无法直接得到没有几何尺寸的“点”。实际的做法是在物平面上画若干个圆（称为靶标），它们的圆心就是几何的点了。而它们的像一般会变形，如附件图1所示，所以必须从靶标上的这些圆的像中把圆心的像精确地找到，标定就可实现。有人设计靶标如下，取1个边长为100mm的正方形，分别以四个顶点（对应为A、C、D、E）为圆心，12mm为半径作圆。以AC边上距离A点30mm处的B为圆心，12mm为半径作圆，如图1所示。用一位置固定的数码相机摄得其像，如图2所示。图1靶标示意图图2靶标的像1.2需解决的问题⑴建立数学模型和算法以确定靶标上圆的圆心在该相机像平面的像坐标,

5、这里坐标系原点取在该相机的光学中心，x-y平面平行于像平面；⑵对由图1、图2分别给出的靶标及其像，计算靶标上圆的圆心在像平面上的像坐标,该相机的像距（即光学中心到像平面的距离）是1577个像素单位(1毫米约为3.78个像素单位)，相机分辨率为1024×768；⑶设计一种方法检验你们的模型，并对方法的精度和稳定性进行讨论；⑷建立用此靶标给出两部固定相机相对位置的数学模型和方法。二、基本假设1）不考虑外界环境对摄像效果的影响；2）数码相机完好无损，所得到的图像质量较好；3）物平面与像平面之间存在着一定的关系；4）双目系统中两部相机存在一定的几何相对关系

6、；有些假设在将题中给出。22三、符号说明：以像素为单位的图像面上的横坐标；：以像素为单位的图像面上的纵坐标；：以毫米为单位的图像面上的横坐标；：以毫米为单位的图像面上的纵坐标；：每一个像素在轴方向上的物理尺寸；：每一个像素在轴方向上的物理尺寸；：视平面与基准平面之间的夹角；：一阶径向畸变参数；：数码相机的焦距；：三维平移向量；：投影矩阵；：旋转矩阵；：比例系数；四、模型建立及求解模型准备：(1)定义一：由有限次中心射影的积定义的两个平面之间的一一对应变换称为二维射影变换。图3二维摄影变换上图3中，间为中心射影，间为射影变换。(2)定理一：射影变换保

7、持点列的交比不变。上述定理表示，若存在射影变换将直线变换到，为直线上任意四点，为它们在上对应点，则。(3)定义二：维射影空间的点变换若满足，其中，为标量，与分别为变换前后空间点的齐次坐标，，，为满秩的矩阵。以二维为例，有：上式可以写成：22消去并标记得到非齐次坐标的交换形式：(4)物距：拍摄物体到透镜中心的距离；(5)像距：成像到透镜中心的距离；(6)焦距：焦点到透镜中心的距离；4.1问题一4.1.1问题分析题目中要求建立数学模型和算法以确定靶标上圆的圆心在该相机像平面的像坐标，要解决这个问题，需要在像平面上和物平面上分别建立对应坐标系，确定物平面

8、上给定圆心的坐标，然后通过相机成像原理，计算像平面上该圆心的坐标。这样就可以比较好的解决这个问题了。也就是说，问题一中的关