2005年同济大学数学建模竞赛第33组试题解答

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1、2005年同济大学数学建模竞赛第33组试题解答奶牛场承包规划问题姓名：学号：傅锦霞023071李婧020189宋文迪010181奶牛场承包规划问题摘要本文建立了一个关于养牛场承包问题的简化模型。在详细分析的基础上，通过合理假设、适当的固定某些变量（如贷款额），这样在一定程度上简化建立模型，并运用动态规划的方法对养牛场的相关决策问题进行分析，本着利益最大化原则，利用逆推法，并借助Matlab软件解决了较复杂的计算，方便的确定出每年底应保留的小母牛数，并在此基础上确定贷款额的最佳值，实现了最大收益的目标。经计算分析可基本得出结论：承包人要采用适

2、当的经营策略可以实现盈利。当承包人第一年底保留的小牛数为24.45头，第二年底保留的小牛数为13.97头，承包人五年的总收益最大61.2万元。关键词：动态规划最大利润最优决策逆推法奶牛场承包规划问题1.问题重述某公司计划承包一奶牛场，经营期为5年，任何投资将从五年期贷款中获得，贷款年利率为12%，每年归还本息总共的1/5，除此还要于每年年底支付6万元土地承租费用。初期要承包原有的120头牛，分别为从0~11岁各10头。不到2岁为幼牛，不产奶也不生仔；其余为产奶牛，平均每年产奶收益为3700元/头，平均每头每年产仔1.1头，新生牛中公、母各半

3、，产后不久小公牛全卖掉（300元/头），小母牛可卖掉（400元/头），也可养成产奶牛;当产奶牛养到12岁就卖掉，平均每头卖出价为1200元。所养牛每年还有一定的损失，所用饲料是粮食和甜菜（可以由农场种植，也可从市场购买，多余还可以卖掉），有关数据见表1和表2。另外，要雇佣工人来维持农场运转，劳动力成本为10元/小时。考虑农场现有状况，如果牛的总数超过130，每增加一头就要增加2000元投入。到承包期满，所有牛按原来的承包价折价卖出，而且场主不希望第五年末产奶牛的数量增加超过原来的75%，也不希望减少超过原来的50%。2.变量说明XkT：第k

4、年初各年龄段(每隔1岁一个阶段,共12段)牛的数量分布向量Ck1：当粮食或甜菜多于牛的需求量时，通过售出得到的收益。Ck2：第k年所用掉的饲料费。Ck3：第k年用于支付多余130头的那部分牛的额外总投入。A12*12：有关牛数量的变化矩阵Sk：第k年初小牛的数量Lk：第k年初奶牛的数量Q：初始贷款额q：每年需还贷款额Mk:每年卖出的12岁牛的数量uk:第k年留下的小母牛的数量（决策变量）UkT:由uk所决定的决策向量（UkT=（uk，0，0，0，0，0，0，0，0，0，0，0））rk：第k年的净收益R：5年总的净收益值a：幼牛的折价系数b：

5、产奶牛的折价系数3.假设1．所有的土地都可以用于农作物（粮食和甜菜）种植，养牛棚及相关设施的面积忽略。2．所有工人的工资都在年底支付，养牛和种植等其它费用在年初即要支付。3．假设奶牛的损失都发生在年末，产仔量由年初的产奶牛数目计算；且认为牛的损失是在各个年龄段均匀分布的。4．相邻两年龄组的牛群在相邻两年之间的变化是连续变化的，即第k年底第i年龄组的牛在第k+1年初进入第i+1年龄组（在此之前12岁的牛已于第k年卖掉）。5．第k年留下的小母牛在第k+1年初全数进入0岁年龄组。6．每年新生的小牛不计费用和损失。7．假设市场销路良好，五年后所有需

6、卖出的牛都可全数以理想价格卖出，最后产奶牛的折价系数为0.95。8．用于多于130的新增牛的2000元投入为一次性的。9．假定第k年的收入可用于第k+1年初的投入。10．由于死亡率是一种概率性的计算，所以假设在计算过程中可以对于牛数量保留小数4.问题分析由上述农场的状况（不考虑自然因素等影响），试分析承包人有无盈利的可能性。若有，怎样安排5年的计划才能使5年的净收益达到最大值？并进一步讨论：若银行利率波动，还款方式改变，气候原因等外因变化引起的农产品产量与价格的变化及劳动力市场价格的变动等会对原来制定的五年计划及收益产生怎样的影响。表1粮食

7、甜菜自种年产量（吨/亩）0.91.5所需劳动量（时/亩）2030购入价格（元/吨）900700售出价格(元/吨)750500其它年消费（元/吨）150100表2幼牛产奶牛承包价（元/头）4004000每年所需劳动量（小时/头）1042每年吃粮食（吨/头）0.40.6每年吃甜菜（吨/头）0.7*2/30.7年损失5%2%其它年消费（元/头）50010005.建立模型（1）关于银行贷款银行贷款的还款方式选择为等额还款，计算公式如下：　年利率×（1＋年利率）还款总期数[（1＋年利率）还款总期数－1]每年还款额＝贷款金额×当年利率为12％，还款期数

8、为5年，则可计算出每年的还款额：q=Q×0.12×1.125/(1.125-1)=0.277Q由于银行贷款利率较高，为减少投资成本及利息的支付，在该模型中先考虑贷款额Q可以满足奶