高等数学-习题答案-方明亮-第六章

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1、第六章空解析几何与向量代数习题参考解答高等数学方明亮版第六章习题6—11、在平行四边形ABCD中,设=a,=b.试用a和b表示向量、、、,其中M是平行四边形对角线的交点.解：由于平行四边形的对角线互相平分,所以a+b,即-(a+b),于是(a+b).因为,所以(a+b).又因-a+b,所以(b-a).由于,所以(a-b).2、若四边形的对角线互相平分，用向量方法证明它是平行四边形.证：,，与平行且相等,结论得证.3、求起点为，终点为的向量与的坐标表达式.解：==,=4、求平行于={1，1，1}的单位向量.解：与平行的单位向量为.5、在空间直角坐标系中，指出下列

2、各点在哪个卦限？解：A:Ⅳ;B:Ⅴ;C:Ⅷ;D:Ⅲ.6、求点与轴，平面及原点的对称点坐标.解：关于轴的对称点为，关于平面的对称点为，关于原点的对称点为.7、已知点A(a,b,c),求它在各坐标平面上及各坐标轴上的垂足的坐标（即投影点的坐标）.解：分别为.8、过点分别作平行于z轴的直线和平行于xOy32第六章空解析几何与向量代数习题参考解答面的平面，问它们上面的点的坐标各有什么特点？解：平行于z轴的直线上面的点的坐标：；平行于xOy面的平面上的点的坐标为.9、求点P(2,-5,4)到原点、各坐标轴和各坐标面的距离.解：到原点的距离为，到x轴的距离为，到y轴的距离

3、为,到z轴的距离为.10、求证以、、三点为顶点的三角形是一个等腰三角形.解：,，即，因此结论成立.11、在yoz坐标面上，求与三个点A(3,1,2),B(4,-2,-2),C(0,5,1)等距离的点的坐标.解：设yoz坐标面所求点为，依题意有，从而，联立解得，故所求点的坐标为.12、z轴上，求与点A(-4,1,7),点B(3,5,-2)等距离的点.解：设所求z轴上的点为，依题意：，两边平方得，故所求点为.13、求使向量与向量平行.解：由得得.14、求与轴反向，模为10的向量的坐标表达式.解：==.32第六章空解析几何与向量代数习题参考解答15、求与向量={1，

4、5，6}平行，模为10的向量的坐标表达式.解：,故.16、已知向量，，试求：（1）；（2）．解：（1）;（2）.17、已知两点和，求向量的模、方向余弦和方向角．解：因为,所以,,从而,,.18、设向量的方向角为、、．若已知其中的两个角为，．求第三个角．解：,,由得.故或.19、已知三点，，，求：（1）与及其模；（2）的方向余弦、方向角；（3）与同向的单位向量.解：（1）由题意知故.（2）因为所以，由向量的方向余弦的坐标表示式得：，方向角为：.（3）与同向的单位向量为：.32第六章空解析几何与向量代数习题参考解答20、设在x轴上的投影和在y轴上的分向量.解：.故

5、向量在x轴上的投影，在y轴上的投影分量为.21、一向量的终点为点B(-2,1,-4),它在x轴，y轴和z轴上的投影依次为3，-3和8，求这向量起点A的坐标.解：设点A为（x,y,z）,依题意有：，故，即所求的点A（-5，4，-12）.22、已知向量的两个方向余弦为cos=,cos=,且与z轴的方向角是钝角.求cos.解：因，又是钝角，所以.23、设三力作用于同一质点，求合力的大小和方向角.解：合力，因此，合力的大小为合力的方向余弦为因此习题6—21、，，，求，，，及，，，.解：依题意，，，，故，，.，，，.2、，求及.与的夹角余弦.解：（1）,..32第六章空

6、解析几何与向量代数习题参考解答3、已知，求解：，∴.4、证明下列问题：1）证明向量与向量垂直.2）证明向量与向量垂直.证：1）,，即与垂直.2）.5、求点的向径与坐标轴之间的夹角.解：设与、、轴之间的夹角分别为，则,,.,,.6、求与平行且满足的向量.解：因,故可设，再由得，即，从而.7、求与向量，都垂直的单位向量.解：，8、在顶点为、和的三角形中，求三角形的面积以及边上的高.解：,三角形的面积为32第六章空解析几何与向量代数习题参考解答9、已知向量，，证明.解10、证明：如果，那么，并说明它的几何意义.证：由,有,但，于是,所以.同理由,有,从而.其几何意义

7、是以三角形的任二边为邻边构成的平行四边形的面积相等.11、已知向量和，计算下列各式：（1）（2）（3）（4）解：（1）.(2)，故.（3）.（4）由（3）知.习题6—31、已知，，求线段的垂直平分面的方程.解：设是所求平面上任一点，据题意有32第六章空解析几何与向量代数习题参考解答化简得所求方程.这就是所求平面上的点的坐标所满足的方程,而不在此平面上的点的坐标都不满足这个方程，所以这个方程就是所求平面的方程.2、一动点移动时，与及平面等距离，求该动点的轨迹方程.解：设在给定的坐标系下，动点，所求的轨迹为，则亦即从而所求的轨迹方程为.3、求下列各球面的方程：（1

8、）圆心，半径为；（2）圆心在原点，且经