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时间:2018-09-20
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1、1、已知公差大于零的等差数列的前项和,且满足:,.(1)求数列的通项公式;(2)若,是某等比数列的连续三项,求值;(3)是否存在常数,使得数列为等差数列,若存在,求出常数;若不存在,请说明理由.解(1)为等差数列,∵,又,∴,是方程的两个根又公差,∴,∴,.∴∴∴.(2)由,是某等比数列的连续三项,,即,解得.(3)由(1)知,,假设存在常数,使数列为等差数列,【法一】由,得,解得.,易知数列为等差数列.【法二】假设存在常数,使数列为等差数列,由等差数列通项公式可知,得恒成立,可得.,易知数列为等差数列.【说明】
2、本题考查等差、等比数列的性质,等差数列的判定,方程思想、特殊与一般思想、待定系数法.2、已知无穷数列{an}中,a1,a2,…,am是首项为10,公差为-2的等差数列;am+1,am+2,…,a2m是首项为,公比为的等比数列(其中m≥3,m∈N*),并对任意的n∈N*,均有an+2m=an成立.(1)当m=12时,求a2010;(2)若a52=,试求m的值;(3)判断是否存在m(m≥3,m∈N*),使得S128m+3≥2010成立?若存在,试求出m的值;若不存在,请说明理由.解:(1)m=12时,数列的周期为24
3、.∵2010=24×83+18,而a18是等比数列中的项,∴a2010=a18=a12+6=.(2)设am+k是第一个周期中等比数列中的第k项,则am+k=.∵,∴等比数列中至少有7项,即m≥7,则一个周期中至少有14项.∴a52最多是第三个周期中的项.若a52是第一个周期中的项,则a52=am+7=.∴m=52-7=45;若a52是第二个周期中的项,则a52=a3m+7=.∴3m=45,m=15;若a52是第三个周期中的项,则a52=a5m+7=.∴5m=45,m=9;综上,m=45,或15,或9.(3)2m是
4、此数列的周期,∴S128m+3表示64个周期及等差数列的前3项之和.∴S2m最大时,S128m+3最大.∵S2m=,当m=6时,S2m=31-=;当m≤5时,S2m<;当m≤7时,S2m<=29<.∴当m=6时,S2m取得最大值,则S128m+3取得最大值为64×+24=2007.由此可知,不存在m(m≥3,m∈N*),使得S128m+3≥2010成立.3、设数列满足,令.⑴试判断数列是否为等差数列?⑵若,求前项的和;⑶是否存在使得三数成等比数列?解:⑴由已知得,即,所以,即,所以数列为等差数列;⑵由⑴得:且,,
5、即,,则;⑶设存在满足条件,则有,即,所以,必为偶数,设为,则,有或,即,与已知矛盾.·不存在使得W#W$W%.K**S*&5^U三数成等比数列.4.等差数列的各项均为正数,,前项和为,为等比数列,,且.(1)求与;(2)求数列的前项和。(3)若对任意正整数和任意恒成立,求实数的取值范围.解:(1)设的公差为,的公比为,则为正整数,, 依题意有,即,解得或者(舍去),故。-------------------------------- 5分(2)。,,两式相减得,所以。-----------------
6、-----------------------10分 (3) ,∴ ---------------------14分问题等价于的最小值大于或等于,即,即,解得。----------------------------16分说明:本题是一道数列与不等式的一道综合题,重点考查如何根据将数列问题化归为基本量求解,或根据数列性质简化运算;差比数列的求和是数列中的重点和难点,学生在运算中很容易出错,所以要加强这方面的训练。数列与不等式的综合是本题的一大亮点,加强知识的综合在高三二轮复习中显得尤其重要。5、已知数列的
7、前n项和为,点在直线上.数列满足:,且,前9项和为153.(1)求数列,的通项公式;(2)设,数列的前n项和为,求使不等式对一切都成立的最大正整数的值;(3)设*,问是否存在,使得成立?若存在,求出的值;若不存在,请说明理由.解:(1)点(n,)在直线y=x+上,∴=n+,即Sn=n2+n,an=n+5.∵bn+2-2bn+1+bn=0(nÎN*),∴bn+2-bn+1=bn+1-bn=…=b2-b1.∴数列{bn}是等差数列,∵b3=11,它的前9项和为153,设公差为d,则b1+2d=11,9b1+×d=15
8、3,解得b1=5,d=3.∴bn=3n+2.(2)由(1)得,cn===(-),∴Tn=b1+b2+b3+…+bn=(1-)+(-)+(-)+…+(-)=(1-).∵Tn=(1-)在nÎN*上是单调递增的,∴Tn的最小值为T1=.∵不等式Tn>对一切nÎN*都成立,∴<.∴k<19.∴最大正整数k的值为18.(3)nÎN*,f(n)==当m为奇数时,m+15为偶数;当m为
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