一维反铁磁的高斯模型_王利东.pdf

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1、首都师范大学学报(自然科学版)　第28卷第2期JournalofCapitalNormalUniversityNo.22007年4月(NaturalScienceEdition)Apr.2007一维反铁磁的高斯模型王利东1孔祥木2姜宏伟1郑鹉1王艾玲1刘立峰1(1.首都师范大学物理系,北京100037;2.中科院交叉科学理论研究中心,北京100080)摘要　　利用求严格解和坐标空间重正化群两种方法,研究了只考虑近邻相互作用的一维反铁磁高斯模型,发现一维反铁磁高斯系统同一维铁磁高斯系统一样,也存在有限大小温度的相变.利用傅里叶变换的方法计算出了严

2、格的配分函数,进而求出了系统的自由能,由自由能函数的奇异点,得到了系统的临界温度.应用坐标空间重正化群和自旋重标相结合的方法求出了系统的临界温度,得到了与严格计算相同的结果.关键词:高斯模型,反铁磁,相变,重正化群.中图分类号:O4690引言一维Ising模型[1]是Ising于1925年解决的,证明了一维情况没有相变.二维模型首先是Onsager于1944年所解,而三维模型至今未解出[2].高斯模型对解释二维的铁磁系统的相变现象给出了与平均场理论一样的结果,但高斯模型有一个优点就是可以严格求解.七十年代,Wilson建立了重正化群理论,在统计

3、物理基础上论证了标度假设,提供了从微观上计算临界指数的系统方法[3].因此高斯模型也可用坐标或动量空间重正化群的方法求解.人们对自旋变量取连续值的铁磁高斯模型已做了大量的研究,本文研究的是一维反铁磁的高斯模型.一维高斯模型[4]是指在一维正规晶格的每个格点上放置一个高斯自旋,自旋变量取实数,而且自旋变量取值有一定的几率.自旋变量可以用S表示,两个自旋变量S1和S2之间的相互作用能为-JS1S2,J为交换积分.当J>0时,如果自旋取向一致,此时能量取值最低,称这个系统为铁磁性系统.当J<0时,如果自旋取向相反,此时能量取值最低,称此系统为反铁磁性

4、系统.本文研究的是只考虑近邻自旋变量之间相互作用的反铁磁高斯模型.对反铁磁系统是否存在相变还存在争议,有报道称收稿日期:2006-11-08一维长程作用下反铁磁伊辛系统在任意有限温度下均不能发生相变,与铁磁情况不同[5].为了解决这个问题下面分别用两种方法—求严格解和坐标空间重正化群来计算.1一维反铁磁高斯系统的严格解求严格解的方法是通过直接计算配分函数求出自由能函数,进而由函数的奇异性来分析反铁磁高斯系统的相变情况.1.1一维反铁磁高斯模型设一维反铁磁高斯系统是由N个格点组成的一维点阵,自旋变量用Si(i=1.2.3…N)来表示.体系任意一

5、个具体微观状态在无外磁场存在下的哈密顿量为H=-J∑SiSj(-∞0).其中表示对一切最近邻自旋变量相互作用能的求和.高斯模型的几率函数为Nb2P=i∏=1e-2si(b>0,-∞i令K=kJBT,K为简化的近邻相互作用参量,kB为28第2期王利东等:一维反铁磁的高斯模型Boltzman常数,T是热力学温度.因为一维晶格的配位数

6、(即与一格点最近邻的格点数)为2,我们可取有效哈密顿量为1bN2H=∑i,jK(xi-xj)SiSj-∑iSi.221.2配分函数通过傅里叶变换把(1)式系统配分函数中的指数项转换成平方项的和,从而把配分函数直接积分出来,这一步很关键,积分出的结果将直接决定反铁磁高斯系统有没有相变.对自旋变量进行傅氏变换得NSi=1∑qSqeiqxi,Sq=ai∑=1Sie-iqxi.(2)ΨΨ=Na为总体积,N为元胞总数,a为元胞体积,对i求和遍及N个元胞,对q求和遍及倒格子空间的第一布里渊区,所以-π≤qi<π.(3)aa由周期性边界条件得qNa=2πn代

7、入上式得-π≤a2πn<π-N≤n

8、q2(xi-xj).(5)令f(q2)=∑f(xi-xj)e-iq2(xi-xj)有傅里叶变换可j1∑i(q+q)x知f(q)为f(r)的傅氏分量.又