台北市立第一女子高级中学八十八学年度校庆科学展览作品说明书

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1、台北市立第一女子高級中學八十八學年度校慶科學展覽作品說明書組別﹔數學組編號：M10作品名稱：四角的震撼作者姓名：二讓王美雯廖芷嫻陳致豫黃郁芳指導老師：許秀聰老師蘇麗敏老師一.研究動機在上了高二之後，因為課業壓力的增大以及繁重，我們往往忘記了實際在現實生活之中的學問，而只是在舊式的課本教學之中度過；後來，我們接觸到了所謂”模式”的數學概念，又加上希望從數學的遊戲中學習，在我們的日常生活之中，我們找到了風靡於世界的一種新新遊戲----四角拼圖，從遊戲之中，我們希望能夠發現另一種不一樣的模式，從拼圖當中，

2、我們希望找出數學的樂趣，所以我們開始著手於研究。二.研究目的從３╳３的四角拼塊之中，找出其唯一解型態的規律，利用實驗，進而推廣到４╳４甚至是更多的四角拼圖，當然，都是唯一解的形式，這樣，我們是否能夠依循這樣的模式來自己製作四角的拼圖呢？三.研究過程我們先來把我們所要研究的題目再做一次完整的表達：首先是我們採用在正方形的四邊皆有圖形的正方形拼塊N塊，首先先固定所有拼塊的方向，在所有的拼塊之中，沒有一個拼塊的圖形是一樣的，而且拼塊之中的圖案不可以有三個以上是一樣的；圖形必須有頭有尾，我們便是利用他的頭尾

3、作拼組的動作；也就是說，假設有九塊拼圖，則拼圖的四邊各印有不同的圖案，而拼者必須將這些卡片排成３╳３的正方形，而緊鄰的四邊圖案及顏色必須相吻合。如附圖。確定題目的方向之後，我們試著從３╳３的拼圖之中找出其解，利用實驗的方式進行，因為我們並不知道結果將會如何所以我們記下了每一個拼出來的圖形，發現了一件很奇異的事，不管如何去拼它，它永遠是唯一個的一個解，這讓我的更有興趣了，為了要去證實這樣的理論是真的正確的，我們決定用機率的可能性一個一個來拼，最後還是這樣的結果，我們姑且將其當作我們最初的條件。爾後，我

4、們在尋求其解的過程之中，我們發現了一件很有趣的事，那就是，我們能夠從其中找到一個最基本構成一解的模式，如下圖一。5（１）我們由此做個一個很大膽的假設，我們擺脫所有圖形的限制，只有管圖形的走向，所以的圖形都有所謂的頭和尾，我們依照頭尾的方向，畫出了上圖，這是我們在一個真實的四角拼圖遊戲中見到的，為了查看這樣的假設是對的，我們自己製作了幾個拼圖，完全不管圖形的擺設，結果發現，我們可以列出下列的規則：１.在Ｆ、Ａ、Ｂ與Ｇ直線之中，各有三個圖形，而這三個圖形的方向，二個是一樣的，一個是不同的，而就Ｃ和Ｄ和Ｅ

5、大排之中，各有兩個圖形，其中Ｃ、Ｄ、Ｅ三大排之中，必有兩排的走向是兩個圖形都一樣的，以六排之中，必有一排內之圖形是非同向的，無論是以哪一個角度去看，都會有一樣的結果。我們列舉基本的兩種情形來說明之。如下圖三、四。我們依循著這樣的模式，做了數次的試驗，結果可以發現這樣的情形真的只能造成一個解！我們重新將其歸納一遍；如果依循著這樣，不管其種類來說，這樣的組合先就單一角度而言，總共有〔１２╳２種（兩個方向）〕情形。下列先列出單一方向的十二種情況。因為有兩個方向的角度，所以就會有〔１２╳１２－３６（必有一不

6、同向之排）╳２種〕排列方式，會出現單一解的圖形，但是，不可否認的它都會依循著我們上述的模式在進行；既然我們發現了所謂的模式，那我們是否就能夠推廣到４╳４的正方形呢？２.我們把４╳４的拼圖，依循著模式列出了六種可能性如下：5然後我們用自製拼圖的方式，來做實驗，我們發現了圖１８、圖２０和圖２１和圖２２都會出現其他的解，這是令人雀躍的，因為我們最後可以發現，留下來的三種圖形，都是以兩個為一組的方式在做組合排列，而且，是依循著我們所找到的模式在進行的！這裡的模式是和３╳３的情形是大致上相同的，在線ｈ、ａ、ｂ

7、、ｃ、ｉ之中，各有四個圖形，在這四個圖形之中，兩兩為一組，兩組反向，但是組中的圖形皆會同向進行；而在格子中ｄ、ｅ、ｆ、ｇ之中，則必有兩排內的圖形是同向進行的，且在所有的排之中並有一非同向進行的；下方列出基本的兩種情形。根據上述的情形，我們也再做了數次的實驗，發現其真的只有一個解！我們再將它重新在整理一遍，就會共有〔６（直）╳２４（橫）（圖２４）＋２４（直）╳２４（橫）（圖２５〕╳２（兩個方向）），一共是１４４０種情形，由於是基本情形眾多，又模式與３╳３時相同故我們在此並不一一列出。３.知道上述的情況

8、之後，我們將方塊推回２╳２的情形，看看也是否有一樣的結果出現？　當然，如我們所料的得到了同樣的結果，這就代表著這種樣式的排列，能夠造成一組解的Ｎ╳Ｎ拼塊塊許Ｎ將屬於自然數，所以我們從２╳２到４╳４逐步做下列的工作；5您使否也察覺到了它的變化，利用２╳２的一組解圖形可以伸展、推廣到３╳３的一組解圖形再推到４╳４的一組解圖形。由上述的研究，我們可以發現２╳２、３╳３帶入此模式中會使其只有一組解，而當我們帶４╳４的圖形進到此模式之中，也可發現其只有一解，並且在推廣的過程之中