3上海交通大学2002年硕士研究生入学考

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1、上海交通大学2000年硕士研究生入学考试数学分析试题一、判断题（以下各题，对的证明，错的要举反例并说明理由）1、在连续的充分必要条件是对任意的闭区间，在上一致连续。解：正确，证明：因为在连续，有对任意的闭区间，在连续，所以在上一致连续；对任意的，存在，满足，由题设有在上一致连续，更有在上连续，即有在上连续，故在连续。2、在可导的充分必要条件在既有右可导又有右可导。解：错，例：，，，在处既有右可导又有右可导，但在处不可导。3、可积函数的复合函数也为可积函数。解：错，例，为黎曼函数，显然，在可积，但在不可积。4、若收敛，则收敛。解：错

2、，例：，收敛，但发散。二、计算并证明下列各式1、。解：对任意的40由积分中值定理存在使得，且，所以，即存在，当时，，故当时，，即。2、求函数的全微分。解：。3、设在上连续递增函数，则成立不等式。解：，由积分中值定理，存在使得，，又在上递增和，有，即。404、求广义积分。解：，当时，，所以含参量积分在上一致收敛，故。5、求，其中是球面的内侧。四、设是非负递增数列，对任意，有，证明存在的子列使得。证明：由，递推得即得存在的单调递增子列，所以有，又对任意有，所以，因此有。五、设是非空有限集，且，，求极限，其中。解：对任意的，取，当时，有

3、，所以只有当时，函数值才有可能不小于，而40是有限值，因此存在的邻域，使得，故当，有，即。六、若级数的项加括号后所作成的级数收敛，且在同一括号中项的符号相同，那么去掉括号后此级数收敛；并由此讨论级数的敛散性。证明：设级数，记，设加括号后级数变为，而且收敛，所以，又对任意，存在，使得，由同一括号中项的符号相同故，令有再由夹逼定理有，即级数收敛；，给上述级数加适当的括号，使得级数变为，其中，是交错级数，且则，和，40则有，即递减，且，故收敛，由本题的前部分知收敛，而发散，故条件收敛。七、设可微函数列在区间上收敛，在区间上一致有界，证明

4、在区间上一致收敛。证明：由在区间上一致有界，即存在，使得；对任意的，在中插入个分点，将等分，且使得，由在区间上收敛，所以存在，当时，有，取，所以当时，有对任意，有对任意的，存在使得，所以当时，，即在区间上一致收敛。上海交通大学2001年硕士研究生入学考试数学分析试题一、判断题（以下各题，对的证明，错的要举反例并说明理由）1、数列收敛于的充分必要条件是对任意，在含有数列中的无穷多项。解：错，例：，对任意，，即在含有数列中的无穷多项，但不收敛。2、函数在可积，必绝对可积，（包括定积分和广义积分）。40解：错，例：，1、若在连续，且在点

5、取得最小值，则存在正数，使得在单减，在单增。解：错，例：，易知在上连续，且在点取得最小值，但对任意正数，可取，当充分大时，，且有，但有，即在内不单增。2、若存在，则存在。解：一、计算并证明下列各式1、设方程组决定了是的函数，求。解：解得，。2、求积分。解：。3、设讨论函数列在区间上一致收敛性。解：对，即，且40，得，所以，当时，，所以在区间上一致收敛；当时，，所以在区间上不一致收敛；当时，，所以在区间上不一致收敛。1、设在上连续，且对任意的自然数，和成立，证明为上的常值函数。证明：，得，类推得对任意的自然数，，，又，对任意的有理数

6、，有由在上连续，令，有，即对任意的有理数，都有，又对任意的无理数，存在有理数列则有，而，所以，即有对任意的，，即为上的常值函数。一、在椭圆上求点，使得通过40的法线与原点距离最远。一、设二元函数在上连续，含参量积分在发散，判断在上一致收敛性且证明之。证明：在上不一致收敛性，证明：反证，若在上一致收敛，即对任意的，存在，当，对有，又在上连续，所以，故，即在收敛，与题设矛盾，命题成立。二、设在上单调增加，且，证明存在，使得。证明：用区间套定理证明，取，，将两等分，即，若，则取，命题成立，若，则取，若，则取，这样得区间，且，，这样继续下

7、去得闭区间套，且满足，由闭区间套定理存在唯一的，且，，再由单调增加，有两边取得，，即有，。三、设在的某邻域有定义，且在处有左、右导数，并设40上的数列满足，且，证明存在和子列使得。证明:：因为在处有左、右导数，且，，所以有，，故有记，显然，，，由有界数列必有收敛的子列知存在的收敛子列，记为，则，且有，，故。上海交通大学2002年硕士研究生入学考试数学分析试题一、判断题（以下各题，对的证明，错的要举反例并说明理由）1、若，而数列收敛，，则数列，必都收敛。（6分）解：对。证明：由，有，又，由夹逼定理有，又收敛，则数列收敛；同理可得数列

8、40收敛。2、若函数在上连续且有界，则在上必一致连续。（6分）解：错。反例在上连续且有界，但在上不一致连续。事实上，在上取，，，显然有，但。3、若函数恒正连续，且无穷积分收敛，则必有。（6分）解：错。不妨设，作，显然恒正连续，且而级数收敛，则收敛。