南昌大学数学物理方法期末考试2009c卷答案

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1、南昌大学2008～2009学年第二学期期末考试试卷参考答案及评分标准试卷编号：6031(C)卷课程编号：H55020190课程名称：数学物理方法考试形式：闭卷适用班级：物理系07各专业姓名：学号：班级：学院：专业：考试日期：题号一二三四五六七八九十总分累分人签名题分5050100得分考生注意事项：1、本试卷共6页，请查看试卷中是否有缺页或破损。如有立即举手报告以便更换。2、考试结束后，考生不得将试卷、答题纸和草稿纸带出考场。3、请仔细阅读题前的说明。一、基础题(每小题10分，共50分)得分评阅人1.（1）计算的代数式和的三角式.（2）已知复数的模为2，即，求（）。解：（1

2、），。---(5分)（2）首先因为，所以有。因此得，即。---(5分)第5页共5页2.（1）试说明解析与可导之间的联系与区别。（2）解析函数有那些基本性质？（3）已知解析函数的实部为，试验证其虚部为。解：（1）解析必定可导，可导不一定解析。---(2分)（2）解析函数的实部虚部可构成正交曲线族，且为共轭调和函数。---(3分)（3）令实部，若虚部，容易验证它们的偏导数存在且连续，并且满足柯西黎曼条件，因此的虚部为。---(5分)3.（1）幂级数和双边幂级数的收敛性质有什么区别？（2）给出泰勒展开的公式。（3）以原点为展开中心，在原点的邻域上，将函数展开为泰勒级数。解：（1

3、）幂级数和双边幂级数分别的收敛区域分别为收敛园与环域。---(2分)（2）---(3分)（3）由，，，容易证明，所以。同时还有。然后由泰勒展开公式得---(5分)第5页共5页4.（1）什么是孤立奇点？（2）孤立奇点可分为哪几类？并举例说明。（3）试说明的奇点的特点，举例说明。解：（1）孤立奇点的某一邻域不包含其它奇点。---(2分)（2）孤立奇点可分可去奇点，如的奇点，极点，如的奇点，和本性奇点，如的奇点，---(5分)（3）当时，其极限依赖于的方式。例如，。---(3分)5.已知函数的傅里叶变换为，试证明的傅里叶变换为。证明：由于函数的傅里叶变换，---(2分)则的傅里

4、叶变换为---(3分)根据傅里叶积分定理，有，于是，上式中的第一项为0。---(2分)所以---(3分)第5页共5页二、计算题(每小题25分，共50分)得分评阅人1.（1）计算函数在其各个极点的留数。（2）用留数定理计算，其中C为以原点为圆心，半径为3的圆周。（3）用留数定理计算实积分。解：（1）解：有两个极点：单极点，两阶极点。---(1分)留数分别为---(2分)和---(2分)（2）积分---(5分)所以---(5分)（3）做变换,原积分化为---(3分)由得两个根。但在积分围线内，只有点是被积函数的单极点。---(3分)因为---(2分)根据留数定理得---(2分

5、)第5页共5页2.（1）试写出达朗贝尔公式，并求解偏微分方程，初始条件为。（2）解常微分方程初值问题。注：可使用拉普拉斯变换，或其它任何方法。解：(1)若方程的初始条件为，则其解为，此即达朗贝尔公式。---(5分)本题中，，，，则---(10分)(2)拉普拉斯变换得---(3分)所以---(4分)逆变换得---(3分)第5页共5页