22量子力学基础习题思考题

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1、习题2222-1．计算下列物体具有动能时的物质波波长，（1）电子；（2）质子。解：（1）具有动能的电子，可以试算一下它的速度：，所以要考虑相对论效应。设电子的静能量为，总能量可写为：，用相对论公式：，可得：；（2）对于具有动能的质子，可以试算一下它的速度：，所以不需要考虑相对论效应。利用德布罗意波的计算公式即可得出：。22-2．计算在彩色电视显像管的加速电压作用下电子的物质波波长，已知加速电压为，（1）用非相对论公式；（2）用相对论公式。解：（1）用非相对论公式：；（2）用相对论公式：设电子的静能为，动能为：，由，有：。22-3．求出实物粒子德布罗意波长与粒子动能E

2、K和静止质量m0的关系，并得出：EK<>m0c2时，．解：由解出：,根据德布罗意波：把上面m，v代入得：,当时，上式分母中，，可略去．得当时，上式分母中，，可略去．得22-4．一中子束通过晶体发生衍射。已知晶面间距，中子的动能，求对此晶面簇反射方向发生一级极大的中子束的掠射角。解：衍射是波的特征，中子束通过晶体发生衍射，可见中子束具有波动属性，由布拉格公式，一级极大时取，有：，波长可利用德布罗意波的计算公式得出：，∴，。22-5．以速度运动的电子射入场强为的匀强电场中加速，为使电子波长，电子在此场中应该飞行多长的距离？解：利用能量守恒，有：，

3、考虑到，有：，利用匀强电场公式有：。22-6．用电子显微镜来分辨大小为1的物体，试估算所需要电子动能的最小值。（以为单位）解：由于需要分辨大小为1的物体，所以电子束的徳布罗意波长至少为1，由，有电子的动量为：；试算一下它的速度：，所以不考虑相对论效应，则利用，有电子动能的最小值：。22-7．设电子的位置不确定度为，计算它的动量的不确定度；若电子的能量约为，计算电子能量的不确定度。解：由不确定关系：，有，由，可推出：。22-8．氢原子的吸收谱线的谱线宽度为，计算原子处在被激发态上的平均寿命。解：能量，由于激发能级有一定的宽度，造成谱线也有一定宽度，两者之间的关系为：，

4、由不确定关系，，平均寿命，则：。22-9．若红宝石发出中心波长的短脉冲信号，时距为，计算该信号的波长宽度。解：光波列长度与原子发光寿命的关系为：，由不确定关系：，有：∴。22-10．设粒子作圆周运动，试证其不确定性关系可以表示为，式中为粒子角动量的不确定度，为粒子角位置的不确定度。证明：当粒子做圆周运动时，设半径为，角动量为：，则其不确定度，而做圆周运动时：，利用：代入，可得到：。22-11．计算一维无限深势阱中基态粒子处在到区间的几率。设粒子的势能分布函数为：解：根据一维无限深势阱的态函数的计算，当粒子被限定在之间运动时，其定态归一化的波函数为：，概率密度为：粒子

5、处在到区间的几率：，如果是基态，，则。22-12．一个质子放在一维无限深阱中，阱宽。（1）质子的零点能量有多大？（2）由态跃迁到态时，质子放出多大能量的光子？解：（1）由一维无限深势阱粒子的能级表达式：时为零点能量：（2）由态跃迁到态时，质子放出光子的能量为：22-13．对应于氢原子中电子轨道运动，试计算时氢原子可能具有的轨道角动量。解：当，的可能取值为：0，1，2。而轨道角动量，所以的取值为：0，，。22-14．氢原子处于的激发态时，原子的轨道角动量在空间有哪些可能取向？并计算各种可能取向的角动量与轴的夹角？解：（1），所以轨道角动量：，（2）的本征值可取：，由磁

6、量子数取值范围：知，有三个取向。夹角分别为：；；。22-15．氢原子处于2p态，当它在外磁场中，考虑到轨道磁矩与外磁场的相互作用，讨论该状态的能级分裂情况，并计算跃迁发出光子的频率。答案：2p能级分裂为三个能级；解：氢原子处在外磁场中，由于空间量子化，电子轨道角动量相对外磁场方向有各种可能的取向，电子轨道磁矩也有相应的不同取向，导致氢原子与外磁场之间不同的相互作用势能，使氢原子电子轨道磁矩电子磁矩与外磁场相互作用能的可能取值有个，磁矩与外磁场相互作用能也出现个可能值。对应于氢原子2p态与外磁场的相互作用能有三个不同值，分别为；，，，。1s能级不变化，2p能级分裂为三

7、个能级，相邻之间能级的能量差为。原先由2p跃迁至1s的一条谱线分裂成为三条谱线，如图所示。其频率分别为：原频率思考题2222-1．证明玻尔理论中氢原于中的电子轨道是电子德布罗意波长的整数倍。证明：设电子轨道的半径为，则电子轨道的周长为，需要证明。玻尔理论中，氢原子中的电子轨道为：而电子的德布罗意波长：（∵）可见电子轨道：，是德布罗意波长的整数倍。22-2．为什么说电子既不是经典意义的波，也不是经典意义的粒子？答：因为假如电子是经典意义的波的话，那么波包随着时间在空间的扩展，电子就会“发胖”，但现实并非如此，所以它不是经典意义的波；而电子的波动性也并非是电子间相互