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1、第7章曲线与曲面曲线和曲面是计算机图形学中重要的研究内容之一，在实际工作中有广泛的应用。实验、统计数据的表示，设计、分析和优化的结果显示，以及汽车、飞机的外型设计都需要用到曲线和曲面的知识。本章主要介绍曲线和曲面的基础知识、常用曲线、曲面的数学基础、性质和分析，并且通过实验对所涉及到的算法进行程序设计。7.1基础知识所谓自由曲线和曲面，指的是形状比较复杂、不能用二次方程表示的曲线和曲面。在自由曲线和曲面设计中，必须首先研究它的数学表示形式，并通过计算机图形学的技术将数学表示（模型）在计算机屏幕上以图形的形式显示出来。7.1.1曲线的数学表示曲线的数
2、学表示形式有显式、隐式和参数三种表示形式。（1）显式表示：对于一条平面曲线，显式表示的一般形式是：y=f(x)，即一个x对应一个y值。例如，一条直线方程y=mx+b。显然，显式表示只能表示直线方程，而不能表示封闭或多值曲线，如圆、椭圆等。（2）隐式表示：隐式表示的一般形式是：f(x,y)=0。例如，圆锥曲线的一般方程为：ax2+2bxy+cy2+2dx+2ey+f=0，通过定义不同的方程系数，可得到不同的圆锥曲线，典型的圆锥曲线是抛物线、双曲线和椭圆。显式表示和隐式表示两种方式属于非参数方程，在进行图形显示过程中会出现如下问题：①与坐标轴相关；②会
3、出现斜率为无穷大的情况（如垂直线）；③对于非平面曲线、曲面难以用常系数的非参数化函数表示；④不便于计算和编程序。因此，在计算机图形显示中曲线和曲面经常用参数方程来表示。（3）参数表示：在平面曲线的参数表示中，曲线上每一点的坐标均要表示成一个参数形式，参数表示的一般形式为：x=x(t)y=y(t)曲线上点矢量表示为：P(t)=[x(t),y(t)]参数曲线的切矢量（或导函数）是：P’(t)=[x’(t),y’(t)]通常经过对参数变量的规格化，使t在[0，1]闭区间内变化，对此区间内的参数曲线进行研究。利用参数表示曲线具有很多优越性，对曲线的形状也更
4、容易控制，因此自由曲线一般都是由参数方程来表示。例如，通过两点p1(x1,y1)和p2(x2,y2)的直线段参数方程表示为：p(t)=p1+(p2-p1)t，其中t∈[0,1]，p(t)=[x(t),y(t)],p1=[x1,y1],p2=[x2,y2]即x(t)=x1+(x2-x1)ty(t)=y1+(y2-y1)t7.1.2插值、逼近、拟合和光顺在研究和应用曲线和曲面时，经常要用到值、逼近、拟合和光顺技术，下面具体解释一下这四个概念的含义及其所采用的技术。1．插值插值是函数逼近的重要方法。设给定函数f(x)在区间[a,b]中互异的n个点（称为型
5、值点）的值(xi)，i=1,2,…,n，基于这个列表数据，寻找某一函数(x)去逼近(x)。如果要求(x)在xi处与(xi)相等，就称这样的函数逼近问题称为插值问题，称(x)为(x)的插值函数。也就是说，(x)在n个插值点xi与(xi)相等，而在别处就用去(x)近似代替(x)。求给定型值点之间曲线上的点称为曲线的插值。在曲线和曲面中最常用的是线性插值和抛物线插值。（1）线性插值假设给定函数(x)在两个不同点x1和x2的值，y1=(x1)，y2=(x2)。线型插值是用过这两个点的直线段y=(x)=ax+b来近似代替函数y=
6、(x)。如图7.1所示。y=f(x)y=(x)yxx1x2y1y2图7.1.1线性插值(x2-x1)(x)=y1+(x-x1)(点斜式)例如，已知f(x)=x，x1=52.3，y1=7.232，x2=52.4，y2=7.239，求52.37。用过两点的直线段来代替函数(x)。线性插值函数(7.239-7.232)(52.4-52.3)(x)=7.232+(x-52.3)(7.239-7.232)(52.4-52.3)(52.37)=7.232+(52.37-52.3)=7.2369（2）抛物线插值设已知函数(x)上三个互异点x1,
7、x2,x3的函数值，分别为y1,y2,y3，要求构造一个抛物线函数：(x)=ax2+bx+c，使(x)在三个型值点上满足条件：(xi)=(xi)，i=1,2,3。通过联立方程组，求出a,b,c，即可以得到抛物线函数(x)的插值函数。如图7.1.2所是。y=f(x)y=(x)yxx1x3y1y2图7.1.2抛物线插值y3x22．逼近由于要求插值函数通过每个型值点，这使得构造插值函数相当困难。另外，由于过多的型值点也会有误差，没有必要寻找一个插值函数来通过所有的型值点。因此，在实际应用中往往选择一个次数较低的函数，在某种意义上最佳逼近这些型
8、值点。最常用的逼近方法就是最小二乘法。假设已知一组型值点（xi,yi），i=0,1,2,…,n，要求构造一个m（m
