高等数学(考前要点复习_下)

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1、第五章定积分的概念教学目的与要求:1.解变上限定积分定义的函数,及其求导数定理,掌握牛顿—莱布尼茨公式。2.解广义积分的概念并会计算广义积分。3.掌握用定积分表达和计算一些几何量与物理量(平面图形的面积、平面曲线的弧长、旋转体的体积及侧面积、平行截面面积为已知的立体体积、变力做功、引力、压力和函数的平均值等)。5.1定积分概念一.定积分的定义不考虑上述二例的几何意义,下面从数学的角度来定义定积分定义设函数f(x)在[a,b]上有界,在[a,b]中任意插入若干个分点,118把区间[a,b]分成n个小区间,记在[]上任意取一点,作和式:如果

2、无论[a,b]作怎样分割,也无论在[]怎样选取,只要有I(I为一个确定的常数),则称极限I是f(x)在[a,b]上的定积分,简称积分,记做即I=其中f(x)为被积函数,f(x)dx为积分表达式,a为积分下限,b为积分上限,x称为积分变量,[a,b]称为积分区间。注1.定积分还可以用语言定义2由此定义,以上二例的结果可以表示为A=和S=3有定义知道表示一个具体的书,与函数f(x)以及区间[a,b]有关,而与积分变量x无关,即==1184定义中的不能用代替5如果存在,则它就是f(x)在[a,b]上的定积分,那么f(x)必须在[a,b]上满足

3、什么条件f(x)在[a,b]上才可积分呢?经典反例:在[0,1]上不可积。可见函数f(x)在什么情况下可积分并不是一件容易的事情。以下给出两个充分条件。定理1设f(x)在区间[a,b]上连续,则f(x)在[a,b]上可积。定理2设f(x)在区间[a,b]上有界,且只有有限个间断点,则f(x)在[a,b]上可积。定理3设f(x)在区间[a,b]上单调,则f(x)在[a,b]上可积。1186几何意义当f(x)0时,表示曲边梯形的面积;当f(x)0时,表示曲边梯形的面积的负值;一般地,若f(x)在[a,b]上有正有负,则表示曲边梯形面积的代数

4、和。[例1]计算解:显然f(x)在[a,b]上连续,则f(x)在[a,b]上可积,现将[0,1]分成n个等分,分点为,,取作和式:所以:=e-17.按照定义5.2定积分的性质积分中值定理有定积分的定义知,是当ab时无意义,但为了计算及应用的方便,特作两个规定:1.a=b时,=01181.a>b时,=-性质1:和差的定积分等于它的定积分的和差,即性质2:常数因子可以外提(可以推广到n个)性质3:无论a,b,c的位置如何,有性质4:f(x)则性质5:若f(x)g(x)则性质6:性质7:设在,,则性质8:(积分

5、中值定理)若f(x)在[a,b]上连续,则[a,b]上至少存一点,使下式成立,例1.利用定积分几何意义,求定积分值上式表示介于,,,118之间面积例2、(估计积分值)证明证:在上最大值为,最小值为2∴∴5.3定积分的计算方法一.变上限积分函数的导数设函数f(x)在[a,b]上连续,x为[a,b]上任一点,显然,f(x)在[a,b]上连续,从而可积,定积分为由于积分变量与积分上限相同,为防止混淆,修改为()称是变上限积分的函数。定理1:设f(x)在[a,b]上连续,则在[a,b]上可导,且导数为证明省略118定理2:如果函数f(x)在[a

6、,b]上连续,则积分上限的函数是f(x)在[a,b]上的一个原函数。注意:1定理说明了连续函数的原函数一定存在2此定理指出了定积分与原函数的关系二、基本定理牛顿—莱伯尼兹公式定理 如果函数F(x)是连续函数f(x)在区间[a,b]上的一个原函数,则 。 (1)证 已知函数F(x)是连续函数f(x)的一个原函数,又根据前面的定理知道,积分上限的函数也是f(x)的一个原函数。于是这两个原函数之差为某个常数,即。(2)在上式中令x=a,得。又由F(x)的定义式及上节定积分的补充规定知F(a)=0,因此,C=118F(a)。以F(a)代入(2)

7、式中的C,以代入(2)式中的F(x),可得,在上式中令x=b,就得到所要证明的公式(1)。由积分性质知,(1)式对a>b的情形同样成立。为方便起见,以后把F(b)–F(a)记成。公式(1)叫做牛顿(Newton)-莱步尼兹(Leibniz)公式,它给定积分提供了一种有效而简便的计算方法,也称为微积分基本公式。例1 计算定积分。解 。例2 计算。解 。例3 计算。118解 。例4 计算正弦曲线y=sinx在[0,p]上与x轴所围成的平面图形的面积。解 。例5 求解 易知这是一个型的未定式,我们利用洛必达法则来计算。因此。例6、1185.4

8、定积分的换元法定理:设(1)f(x)在[a,b]上连续,(2)函数在上严格单调,且有连续导数,(3)时,且则有换元公式:…….(1)注1.用换元法时,当用将积分变量x换成t求出原函数后,t不用回代,只要积分

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