小波变换的快速离散算法实现及应用

《小波变换的快速离散算法实现及应用》由会员上传分享，免费在线阅读，更多相关内容在学术论文-天天文库。

1、小波变换的快速离散算法实现及应用(应用数学200007704班:张俊梅指导老师：范安东老师)摘要：快速变换算法是数字信号处理的重要工具，具有理论和应用的双重价值。多分辨率小波分析和Mallat算法已在数字信号处理和信号分析中得到了广泛应用，但是按照Mallat算法计算信号的分解和重建，其计算量是很大的。本文通过对实序列的快速傅立叶变换算法的推导及Mallat算法原理的分析，根据离散小波变换（DWT）算法结构特征，提出了一种离散小波的快速变换算法，给出了相应的步骤。从数学理论上对该算法进行了论证，结果表明与原有的快速小波算法（Mallat算法）相比，可以显著减少信号和滤波器长度N较大（大于1

2、6）时小波变换的实乘次数，提高了运算速度，且该算法有着良好的并行性，易于数字信号处理器（DSP）的快速实现。关键字：小波；小波分析；Mallat算法；快速傅立叶变换；快速小波算法前言小波分析是当前应用数学领域中一个迅速发展的新领域，是今年来在数学界和信号处理领域中日益受到重视的一门学科和工具，是传统傅立叶分析发展史上里程碑式的进展。它继承和发展了窗口傅立叶变换的局部化思想，而且克服了窗口大小不随频率变化而改变，缺乏离散正交基的缺点，具有良好的时频局部化思想，其多分辨率分析不仅应用于数字信号处理和分析、信号检测和噪声抑制，而且各种快速算法也大大促进了小波分析在实际系统中的应用，使得小波及相关

3、技术在通信领域中也得到了广泛的研究。1987年Mallat将多分辨率思想引入小波分析中，提出了多分辨分析理论，并给出了数学描述和一种子滤波器结构的离散小波变换算法---Mallat算法。其本质是不需要知道尺度函数和小波函数的具体结构，由系数就可以实现信号的分解和重建。运用改算法可使信号每次分解时的长度减半，因而它是一种快速分解和重构算法，但鉴于小波分解实质是信号与滤波器组的卷积，故如果直接用该算法来计算上述相关和卷积，其运算量将会很大，特别在信号长度较大时，故有必要对离散小波变换的快速算法做进一步的探讨。本文在分析Mallat算法结构特点基础上，提出了一种离散小波变换的快速算法，该算法对长

4、度较大的信号和滤波器非常有效。与直接计算相比，可使运算量大为下降，这从数学理论和实际中得到了很好的证实。第一章预备知识从小波产生过程来开，它是人们在解决实际问题中根据实际需要对原先变换方法改进而发展来的，可以这么说，在某种意义上，傅立叶变换、Gabor变换到小波变换是一种从“低级”到“高级”的发展过程。作为后面小波快速离散算法的铺垫，对傅立叶变换、离散傅立叶变换及其快速傅立叶变换(FFT)进行了详细说明，同时作为小波概念的引入，对窗口傅立叶变换（Gabor变换）做了简要介绍。1.1傅立叶变换时域与频域是信号分析的两个领域，它们由傅立叶变换联系起来，傅立叶变换的本质在于，对于一个确定性信号f

5、(t),t∈(-,+)，在整个区间是连续或分段连续，满足平方可积条件，即就称f(t)t∈(-,+)在是可积的，那么F(ω)=,（1）就称为函数f(t)的傅立叶变换,记为£[f(t)]=F(ω),F(ω)称为f(t)的像函数；称f(t)=，（2）为傅立叶逆变换，记为£-1[F(ω)]=f(t),f(t)称为F(ω)像原函数。不难看出，式（1）是将自变量为时域t∈(-,+)函数f(t),通过积分运算，转化为以频率ω为变量的函数F(ω)，ω∈(-,+)；而式（2）是（1）所做变换的逆变换，它将频域函数F(ω)变换为原来的时域函数f(t).f(t)与F(ω)是一一对应的，两公式具有非常优美的对称形

6、式。1.2离散傅立叶变换设对f(t)进行采样，采样间隔为，采样值为f(k),k=-N,-N+1,,N-1,记，则取注意到周期性，有其中.设实序列为，称为{fk}的离散傅立叶变换。称为{Gn}的傅立叶逆变换。令,则1.3快速傅立叶变换（FFT）快速傅立叶变换（FFT）是离散傅立叶变换（DFT）的一种快速算法，DFT的计算工作量为0(N2)(N为待分析的数据长度)，当N很大时，0(N2)是计算机无法接受的。而FFT计算工作量为0(NlgN),正是有了FFT，傅立叶分析才真正成为人们认识自然、改造自然的流行工具。FFT基本原理就是把一个N(一般设N=2L，L为整数，如不满足，可通过补0来实现)点

7、DFT分解成2个N/2点DFT，再把N/2点DFT分解成N/4点DFT，再分解成N/8点DFT，一直分解到2点的DFT为止。这种N为2的整数幂的FFT也称为基-2FFT，它可使原有DFT的计算量大为减少，通过实际的理论推导，采用FFT计算N点DFT，计算量为（N/2）log2N次复乘和Nlog2N次复加。鉴于一次复乘需要4次实乘和2次实加，所以FFT相应的计算量为2Nlog2N。N点IDFT也可由FFT来完成，其计算量与