2016-2022年中国洗衣液市场深度调查及投资方向研究报告(目录)

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1、第8章数字信号和图象的小波算法这部分我们将介绍如何利用正交多分辨分析以及尺度方程和构造方程的系数，使用矩阵形式构造离散数字信号和数字图象小波变换的递推算法，即矩阵金字塔算法或矩阵Mallat算法，为小波变换的应用编程提供一种代数形式的程序结构，具体地说，就是把离散数字信号和数字图象的小波变换等同于线性向量空间上向量或者矩阵的正交变换。8.1.金字塔算法的矩阵形式8.1.1.正交多分辨分析的矩阵形式沿用多分辨分析（MultiresolutionAnalysis）方法的矩阵记号(8.1.1)和构造正交小波的充要条件(8.1.2)或者更详细地写成(8.1.3)其中(8.1.4)利用系数

2、序列可将(8.1.3)改写为15(8.1.5)定义两个无穷维的方阵，，(8.1.6)其中分别是矩阵的第n行第m列的元素，。为了清楚和直观，在这里详细写出这两个矩阵的形式(8.1.7)(8.1.8)引入无穷维单位矩阵(8.1.9)和无穷维的分块方阵(8.1.10)这样，(8.1.5)可以写成矩阵形式15(8.1.11)或者(8.1.12)8.1.2.小波变换金字塔算法将上的多分辨分析记为，尺度方程和构造方程为(8.1.13)其中系数关系是。对任意的整数，引入记号(8.1.14)和(8.1.15)对于任意信号，引入记号(8.1.16)称为的尺度变换系数和小波变换系数，同时，将在闭子空

3、间上的正交投影分别记为，这样(8.1.17)15根据空间正交直和分解关系(8.1.18)可得(8.1.19)或者用信号的尺度变换系数和小波变换系数表示为(8.1.20)这样，小波变换的Mallat分解算法公式可写成：(8.1.21)而合成算法可以写成(8.1.22)8.1.3.金字塔算法和矩阵为了用矩阵和向量形式描述金字塔算法，把信号的尺度变换系数序列和小波变换系数序列写成无穷维向量的形式(8.1.23)这样，小波变换的Mallat分解算法(8.21)变成(8.1.24)(8.1.25)合成算法的公式(8.1.22)就变成15+(8.1.26)8.2.数字信号的小波变换从一般的描

4、述形式来说，信号的数学描述实际上就是一个函数，这个函数大多数时候都是以连续时间或空间或位置为自变量，而数字信号通常理解为这种函数的离散取值或采样，当然，有时候信号本身就是离散的以数字序列的形式出现。为了方便，统一以连续形式进行处理和描述。根据多分辨分析的稠密性公理，对于任何常用的信号类而言，在进行任何一次具体分析时，只要信号的采样间隔足够小，那么，相应的采样序列完全可以看作信号在尺度充分小时的尺度变换系数。根据正交小波变换的分解算法，随着尺度成倍的增长，该信号的小波分解序列就可以随算法的逐步展开而得到，从而实现信号的小波分解。在这一节，我们所考虑的不是这种问题。具体地说，是这样的

5、：当信号的采样数据只是有限个时，它的小波变换的具体形式。一般的处理模式是，将得到的有限长度的数字序列按照某种方式进行延拓，产生一个无头无尾的无穷维的数字序列，把它作为原始信号在某一级尺度下的尺度变换系数列，之后，逐次利用小波变换的分解算法，即Mallat算法，得到前述序列的各级小波分解的尺度变换系数和小波变换系数，从而，实现有限长度数字信号的小波变换。15在应用中，第一种方法是使用前导零和后续零的简单方式，将任何有限长度的数字序列延拓成前后都是无穷的无穷维向量，这样处理方式实质上相当于把原始信号看成是有限时间支撑的，因此，对有些信号来说，这种处理必然会代来一些副效应，比如，当有限

6、数字信号的首尾数字都是比较大的数值时，这种处理的一个显然的副作用就是产生两个方法奇点，在进行奇性分析时，这是不能让人满意的；第二种方法是周期延拓方法，所谓周期延拓就是以原来的数字信号的长度为周期，向前向后无限次重复顺次使用原始数据；第三种方法是衰减延拓法，衰减延拓的要求是，向前先后适当增加原始数据的长度，或者使延长得到的数据列的最前和最后的数据都是零，再用前导零和后续零的方式得到无穷数字序列，或者使延长所得数据列前后数据相等，再用周期延拓法产生无穷数字序列。特别是，当多分辨分析的低通和高通滤波器不是有限长度时，这三种处理方式的结果有时会有比较明显的差异，如果多分辨分析中的正交共轭

7、滤波器是有限长度的，特别是长度比较小时，这些差异会自动变小。下面以周期延拓为例进行介绍。8.2.1.数字信号的小波变换算法利用前述分析，对于任何信号，如果它的间隔为D的采样序列是首尾无穷的，那么，它的小波分解问题已经解决。如果采样是不完全的，只得到一个有限长度的数字序列比如记为，延拓得到原信号在某一尺度比如下的尺度变换系数：(8.2.1)重复利用分解公式(8.1.24)可以逐步得出尺度分解和小波分解系数列。特别应该注意，虽然信号的采样序列是有限长度的，但是，它的任何一级尺度分解系