第二十八讲 奇妙的对称(含答案)-

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1、www.czsx.com.cn第二十八讲奇妙的对称对称是一种客观存在，一朵红花、一片绿叶、一只色彩魔斓的蝴蝶等，最令人惊奇的就是它们外形的几何对称性，自然界的对称性可以在从亚原子粒子的结构到整个宇宙的结构的每一个尺度上找到．对称是一种美的标准，人类心智中的某种东西受对称的吸引，对称对我们的视觉有感染力，影响我们对美的感受，建筑、绘画广泛地应用对称．对称是一个数学概念，我们熟悉的有代数中的对称式、几何中的轴对称、中心对称等，更一般情况是，许多数学问题所涉及的对象具有对称性，不仅包括几何图形中的对称，而且泛指某些对象在有些方面如图形、

2、关系、地位等同彼此相对又相称．对称是一种解题方法，即解题时充分利用问题自身条件的某些对称性分析问题，在探求几何最值、代数式的化简求值等方面有广泛的应用．例题求解【例1】如图，△ABC中，AC=BC=5，∠ACB=80°，O为△ABC中一点，∠OAB=10°，∠OBA=30°，则线段AO的长是．(第14届“希望杯”邀请赛试题)思路点拨△OAB是一般三角形，作∠ACB的平分线，与BO延长线交于D，连AD，OC，通过全等寻找与AO相等的线段，促使问题的解决．注物理学家皮埃尔·居里曾说，“结果与其原因一样对称．”大干世界，许多事物都具有某

3、种对称性．许多化学分子是对称的，细胞结构是对称的，病毒往往也是对称的，……对称给人们以和谐均衡的羌感，完全的对称是重复性的可预言的，人类在漫长的岁月里，体验着对称，享受着对称．求几何量的最值问题常用方法有：(1)应用几何中的不等式性质，定理；(2)对称分析；(3)代数法．即着眼于揭示问题中变动元素的代数关系．【例2】如图，正方形ABCD的边长为3，E在BC上，且BE=2，P在BD上，则PE+PC的最小值为()A．2B．C．D．(“新蕾杯”数学竞赛题)思路点拨C、E两点位置固定，从对称性考虑，确定P点位置．otherstaffoft

4、heCentre.Duringthewar,ZhuwastransferredbacktoJiangxi,andDirectorofthenewOfficeinJingdezhen,JiangxiCommitteeSecretary.Startingin1939servedasrecorderoftheWestNorthOrganization,SecretaryoftheSpecialCommitteeAfterthevictoryofthelongMarch,hehasbeentheNorthwestOfficeoftheFe

5、derationofStateenterprisesMinister,ShenmufuguSARmissions,DirectorofNingxiaCountypartyCommitteeSecretaryandrecorderoftheCountypartyCommitteeSecretary,Ministersand-7-www.czsx.com.cn【例3】现有一块形如母子正方形的板材，木工师傅想先把它割成几块，然后适当拼接，制成某种特殊形状的板面(要求板材不能有剩余，拼接时不重叠、无空隙)，请你按下列要求帮助木工师傅分别设

6、计一种方案：(1)板面形状为非正方形的中心对称图形；(2)板面形状为等腰梯形；(3)板面形状为正方形．思路点拨问题(1)，由“中心对称的四边形是平行四边形”想象出中心对称的多边形的大致形状；问题(2)，先计算等腰梯形面积为5，猜想等腰梯形的高，可能为2，因此，上、下底的和应为5；问题(3)，由正方形的面积为5，计算出它的边长应为．【例4】已知，试确定、的关系．(第15届江苏省竞赛题)思路点拨有理化是解根式问题的基本思路，乘方、配方、换元、引入有理化因式等是有理化的常用方法．本例是一道脍炙人口的名题，引入与已知等式地位相对相称的有理

7、化因式，本例可获得简解．注数学中的对称，不仅指几何图形中的对称，代数表示式中，若各个宇母互相替代，表示式不变，也称这个表示式关于这些字母是对称的，一个复杂的二元对称式．都可以用最简单对称式，表示．许多数学问题有着和谐的对称美．对原题匹配一个与之相对的数学式，然后一起参与运算，这就是常说的“对称性地处理具有对称性的问题”，是数学解题中的一个一般性原则．用对称法解几何题的常见的方式有：(1)作出常见轴对称图形的对称轴，或利用题设条件中的垂线、角平分线翻折造全等；(2)利用中点构造中心对称图形．【例5】如图，凸四边形ABCD的对角线AC

8、、BD相交于O，且AC⊥BD，已知OA＞OC，OB＞~OD，比较BC+AD与AB+CD的大小．(“祖冲之杯”邀请赛试题)otherstaffoftheCentre.Duringthewar,ZhuwastransferredbacktoJiangx